Matemática

Suspensão deste blogue

Américo Tavares — Wed, 01 Oct 2008 10:43:37 +0000

Por diversos motivos não consegui autonomizar este meu blogue do problemas | teoremas. Sendo assim suspendo-o por tempo indefinido. A retomar a publicação fá-lo-ei apenas se conseguir criar entradas e temas ou forma de apresentação diferenciadas do blogue principal problemas | teoremas.

Agradeço que os eventuais comentadores usem de preferência o meu endereço de e-mail acltavares@sapo.pt para quaisquer comentários ou pedidos de esclarecimentos suscitados por qualquer das entradas deste blogue.

Obrigado a todos os que por aqui passaram ou continuarem a passar.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz ou de Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz

Américo Tavares — Mon, 18 Aug 2008 13:25:35 +0000

A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte

Teorema: Para todo o vector e todo o vector , tem-se:

Demonstração

Qualquer que seja o real , tomo o vector , e vou achar

Seja qual for o , o trinómio do lado direito, em , não muda de sinal, é sempre positivo ou igual a zero, porque o número é não negativo:

o que implica que o seu descriminante seja menor ou igual a zero

significando que

Daqui pode ainda concluir-se que

Se algum dos vectores for nulo, esta relação é evidentemente verificada.

O significado geométrico em desta desigualdade é o de que o produto interno de dois vectores é menor ou igual ao produto dos módulos (das normas) desses vectores.

Astróide

Américo Tavares — Fri, 15 Aug 2008 09:34:13 +0000

A hipociclóide é a curva descrita por um dado ponto de uma circunferência que rola, sem escorregar, interiormente sobre outra. Se o raio da circunferência exterior for quádruplo do da interior, a curva é conhecida por astróide — não confundir com asteróide — e as suas equações paramétricas são

e a cartesiana,

O gráfico, para , é o seguinte

Sabe-se que, se a derivada de uma função real existir e for contínua no intervalo , o gráfico de é rectificável e o seu comprimento , entre os dois pontos de abcissa e , é dado por

(1)

ou, se forem funções reais da variável real

com primeira derivada contínua, então

(2).

Determine o perímetro da curva representada ().
Resolução:
Como a curva, por ser simétrica em relação aos dois eixos, tem um perímetro que é quatro vezes o valor do integral seguinte

;

logo

Funções ortogonais e séries de Fourier

Américo Tavares — Sat, 07 Jun 2008 06:34:59 +0000

Começo por considerar sistemas de funções ortogonais para desenvolver a questão da representação de uma função em série do tipo

em que são precisamente funções ortogonais em .

Chamam-se funções ortogonais às funções [complexas de variável real] que satisfazem as seguintes condições:

0\qquad \text{para }n=m' title='\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx>0\qquad \text{para }n=m' class='latex' />

Revestem-se de grande interesse nas aplicações as funções do tipo e .

Chama-se norma de um sistema de funções ortogonais a

Um sistema ortogonal diz-se ortonormado se a sua norma for igual à unidade: .

Exemplo 1: definida em .

Consideremos uma função de variável real

e as seguintes hipóteses:

a série converge;
converge para

Multiplicando a série por vem

porque pode trocar-se a ordem de e , se admitirmos a convergência uniforme da série no intervalo . Assim,

ou seja,

Aos coeficientes chamam-se os coeficientes de Fourier. À série chama-se série de Fourier relativa ao conjunto de funções ortogonais .

NOTA: esta dedução não é rigorosa!

Consideremos uma função de quadrado integrável no intervalo . Vamos aproximar por uma expressão da forma

Seja o erro quadrático médio. Vamos impor que seja mínimo.

o que é o mesmo que

DEDUÇÃO:

Dados dois complexos e , verifica-se

Assim, tem-se

donde resulta

ou seja, a fórmula acima que se repete:

Os termos

são independentes de . Para minimizar deve ter-se

que é equivalente a

ou a

Vimos então que os coeficientes da série de Fourier minimizam o erro quadrado médio.

Fazendo tender para infinito, no limite tem-se a desigualdade de Bessel

Se o sistema for ortonormado, , e

Para as funções de quadrado integrável, a série

converge. A seguinte igualdade verifica-se, se e só se, o erro quadrático médio for nulo; então, será

e o sistema de funções é completo. Então

Nestas condiçoes, diz-se que a série de Fourier converge em média para , mas a convergência não é necessariamente uniforme. Por definição uma série converge uniformemente para uma função quando simbolicamente se verificar

0}{\forall }\;' title='\underset{\varepsilon >0}{\forall }\;' class='latex' /> N_{1}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon ' title='N>N_{1}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon ' class='latex' />

Para cada 0' title='\varepsilon >0' class='latex' />, existe um inteiro tal que, N_{1}' title='N>N_{1}' class='latex' /> implica , para todo o no intervalo . O facto essencial é que é independente de Normalmente dependeria de

Os sistemas completos, em que converge em média para , esta convergência não implica convergência em todos os pontos.

Se considerarmos duas funções, e , que diferem apenas num número finito de pontos e calcularmos os coeficientes

obtemos o mesmo valor, visto que

tem o mesmo valor para as duas funçoes, o que leva a que ambas sejam representadas pela mesma série de Fourier. A série de Fourier pode não convergir para o valor da função num conjunto finito de pontos.

Para os sistemas completos é possível deduzir a seguinte relação:

Dadas duas funções e representadas pelas séries

é possível demonstrar que

, fazendo em 1. .

À relação 1. costuma chamar-se relação de Parseval na forma geral. à seguinte, chamar-se-á relação de Parseval na forma particular. Se soubermos de antemão que um determinado sistema de funções é completo, podemos determinar a soma de certas séries de interesse prático, à custa da relação de Parseval: exemplo, a série

Exemplo 2: O sistema de funções é ortogonal no intervalo . Determine os coeficientes de Fourier da série

e verifique que aquele sistema é completo em relação a esta função.

Começo por calcular as quantidades:

para ímpar e

para par

Deste modo

, se é par e

, se é ímpar.

Podemos agora verificar se a igualdade

é satisfeita: Temos

o que significa que o sistema é completo em relação à função , .

NOTA: Utilizei a soma da série (veja também abaixo).

Desenvolve-se em série trigonométrica de Fourier, que será vista posteriormente, a função , , chegando-se a

Somando-as, obtém-se

Outro método mais à frente é uma consequência do Problema 2.

Série Trigonométrica de Fourier

A série trigonométrica de Fourier é o caso particular das séries de Fourier que utiliza o sistema de funções ortogonais e :

Sendo o delta de Kronecker

os integrais envolvidos podem exprimir-se facilmente nos seguintes termos:

Consideremos a seguinte série de Fourier

Os coeficientes e são os seguintes integrais

Estas relações são válidas para qualquer outro intervalo de largura . Admitamos que é uma função de quadrado integrável e que é um sistema ortogonal; vimos que

Neste caso as três normas são dadas por

e os coeficientes por

A série

é da forma

que, sendo convergente, implica que e

É possível demonstrar que, para que é suficiente que seja absolutamente integrável.

Teorema: se satisfizer as seguintes condições

for injectiva;
for limitada em ;
tiver um número finito de máximos e mínimos;
e tiver um número finito de descontinuidades de primeira espécie (quando existem limites finitos da função à esquerda e à direita do ponto da descontinuidade).

Então a série trigonométrica de Fourier converge para a seguinte quantidade

As condições anteriores, que se designam por condições de Dirichlet, são condições suficientes de convergência.

Nos intervalos em que a função é contínua, a convergência da série é uniforme. Se for contínua em todo o intervalo, a série trigonométrica de Fourier converge uniformemente em todo o intervalo.

Como consequência do teorema anterior, resulta que o conjunto das funções , é um conjunto completo para as funções que satisfazem as condições de Dirichlet, isto é

que é a relação de Parseval neste caso.

Dada uma função definida no intervalo , se satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para . Mas, o que é que acontece fora do intervalo ? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de . Se for periódica de período , a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo designamo-lo por fundamental, o termo , harmónica de ordem .

Problema 1 – Mostre que o sistema de funções , em que é ortogonal no intervalo e determine a respectiva norma.

Resolução

Num sistema ortogonal

0\qquad n=m\end{array}\right. ' title='\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\overline{\phi }_{m}\;dx\left\{\begin{array}{c}=0\qquad n\neq m\\>0\qquad n=m\end{array}\right. ' class='latex' />

A sua norma é dada por

0' title='\int_{a}^{b}|\phi _{n}|^{2}\;dx=||\phi _{n}||^{2}>0' class='latex' />

Como fórmulas a aplicar, temos as seguintes trigonométricas

Donde

Ora, como para

e para

o sistema é efectivamente ortogonal e a sua norma

Problema 2 – Considere o sistema de funções

().

1. Mostre que o sistema é ortogonal no intervalo

2. Deduza a expressão dos coeficientes da série de Fourier associados à função definida naquele intervalo.

3. Calcule o valor dos coeficientes de Fourier para

Soluções:

Nota adicional: nestas condições

Para vem

donde

Problema 3 – Verifique que o sistema de funções não é completo no intervalo .

Resolução

Não é possível definir funções ímpares à custa da soma dos cosenos.

Função par:

Função ímpar:

Para que o sistema de funções seja completo é necessário que

Considerando uma função ímpar não identicamente nula em , verifica-se que os coeficientes da série de Fourier associada a são todos nulos:

é o produto de uma função ímpar com uma função par e, portanto, este produto é uma função par. Dado o intervalo de integração, o integral do numerador é nulo. Nestas condições o integral , que é maior do que zero, é concerteza maior do que a série , que é igual a zero.

Problema 4 – Mostre que se um sistema de funções é ortogonal e completo, uma função contínua que seja ortogonal a todas as funções do sistema é identicamente nula.

Resolução

Como é ortogonal,

Sendo o sistema completo

Como é contínua, por hipótese, para que o seu quadrado possua um integral igual a zero, tem de ser identicamente nula.

Problema 5

1. Verifique que o sistema de funções e é ortogonal no intervalo e determine os coeficientes e da série trigonométrica

associada a uma função de quadrado integrável.

2. Sabendo que

verifique que aquele sistema é completo em relação à função

Resolução

1. Para o sistema de funções e tem-se:

Por outro lado, os quadrados das três normas são

e as próprias normas,

Verificam-se, portanto, as seguintes relações de ortogonalidade:

ou na notação das funções ortogonais , em que

estas relações exprimem-se por

A partir das relações a seguir indicadas entre os coeficientes e podemos calcular o valor destes últimos pela fórmula geral

Como os coeficientes são dados por

os coeficientes são então

2. Para a função

tem-se

A interpretação para este valor nulo do coeficiente é que sendo ímpar a função não precisa dos cosenos, que são funções pares. Quanto ao coeficiente tem-se

pelo que

O desenvolvimento em série de Fourier da função é então

O sistema é completo porque

Problema 6

Calcule os coeficientes da série trigonométrica de Fourier associada a cada uma das funções indicadas

Respostas

Problema 7

Faça, para a função

\pi /2\end{array}\right.' title='\left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.' class='latex' />

do problema 6.1, a representação gráfica da soma parcial da respectiva série para um número crescente de harmónicas.

Resolução

Primeiras somas parciais de da série de Fourier representativa da função

Gráfico da função — onda quadrada (a vermelho) no intervalo – e as somas parciais dos cinco primeiros termos da sua série de Fourier

Em virtude de ser par

Os coeficientes são

Valor médio

Fundamental

3ª harmónica

5ª harmónica

7ª harmónica

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

Algumas propriedades dos coeficientes de Fourier

Se for par: ,
Se for ímpar: ,
Se tiver duas alternância, sendo uma a imagem num espelho da outra: , , para par
Se for periódica de período : , , para ímpar.

Problema 8

Demonstre que qualquer função definida no intervalo e satisfazendo as condiçoes de Dirichlet neste intervalo é representável pela série

para , que esta série converge para

e escreva a expressão dos coeficientes .

Resposta

Problema 3x + 1

Américo Tavares — Wed, 04 Jun 2008 12:55:19 +0000

O problema 3x + 1, também conhecido por conjectura de Collatz, está por resolver. Consiste no seguinte:

Considera-se um número inteiro positivo superior a 1. Se for par divide-se por dois, se for ímpar multiplica-se por três e soma-se-lhe um. Ao novo número assim obtido faz-se o mesmo, e assim sucessivamente, até que se chegue a 1.

Conjectura-se que qualquer que seja o número inicial, a sequência gerada acaba sempre no número um.

Exemplo: 5, 16, 8, 4, 2, 1

Cálculo:

5×3+1= 16, 16÷2= 8, 8÷2= 4, 4÷2= 2, 2÷2= 1

Outro exemplo (o do gráfico em cima): 27, 82, 41, 124, …, 3077, 9232, 4616, …, 46, 23, 70, …, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Cálculo:
27×3+1= 82, 82÷2= 41
41×3+1= 124, 124÷2= 62, 62÷2= 31
31×3+1= 94, 94÷2= 47
47×3+1= 142, 142÷2= 71
71×3+1= 214, 214÷2= 107
107×3+1= 322, 322÷2= 161
161×3+1= 484, 484÷2= 242, 242÷2= 121,

121×3+1= 364, 364÷2= 182, 182÷2= 91
91×3+1= 274, 274÷2= 137
137×3+1= 412, 412÷2= 206, 206÷2= 103
103×3+1= 310, 310÷2= 155
155×3+1= 466, 466÷2= 233
233×3+1= 700, 700÷2= 350, 350÷2= 175
175×3+1= 526, 526÷2= 263,

263×3+1= 790, 790÷2= 395
395×3+1= 1186, 1186÷2= 593,

593×3+1= 1780, 1780÷2= 890, 890÷2= 445
445×3+1= 1336, 1336÷2= 668, 668÷2= 334, 334÷2= 167
167×3+1= 502, 502÷2= 251
251×3+1= 754, 754÷2= 377
377×3+1= 1132, 1132÷2= 566, 566÷2= 283
283×3+1= 850, 850÷2= 425,

425×3+1= 1276, 1276÷2= 638, 638÷2= 319
319×3+1= 958, 958÷2= 479
479×3+1= 1438, 1438÷2= 719
719×3+1= 2158, 2158÷2= 1079
1079×3+1= 3238, 3238÷2= 1619
1619×3+1= 4858, 4858÷2= 2429
2429×3+1= 7288, 7288÷2= 3644, 3644÷2= 1822, 1822÷2= 911
911×3+1= 2734, 2734÷2= 1367
1367×3+1= 4102, 4102÷2= 2051,

2051×3+1= 6154, 6154÷2= 3077,

3077×3+1= 9232, 9232÷2= 4616, 4616÷2= 2308, 2308÷2= 1154, 1154÷2= 577
577×3+1= 1732, 1732÷2= 866, 866÷2= 433
433×3+1= 1300, 1300÷2= 650, 650÷2= 325
325×3+1= 976, 976÷2= 488, 488÷2= 244, 244÷2= 122, 122÷2= 61,

61×3+1= 184, 184÷2= 92, 92÷2= 46, 46÷2= 23
23×3+1= 70, 70÷2= 35
35×3+1= 106, 106÷2= 53
53×3+1= 160, 160÷2= 80, 80÷2= 40, 40÷2= 20, 20÷2= 10, 10÷2= 5
5×3+1= 16, 16÷2= 8, 8÷2= 4, 4÷2= 2, 2÷2= 1

Note que a seguir a um número ímpar o número é sempre par!

Quando se testa sistematicamente em computador esta sequência, basta escrever o número na forma

e parar quando se obtiver um número inferior ao inicial, desde que antes se tenham testados todos os números para menor ou igual ao que está a ser testado, o que poupa tempo de cálculo.

Exemplos:

—

Só se testam dos casos, os da forma

Só se testam dos casos, os da forma e

Só se testam dos casos, os da forma , e .

Links úteis:

Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
On the 3x + 1 problem, Eric Roosendaal: http://www.ericr.nl/wondrous/
Experiments with the 3n+1 sequence (Gerador/calculadora online), Alfred Wassermann: http://did.mat.uni-bayreuth.de/personen/wassermann/fun/3np1_e.html
Computational verification of the 3x+1 conjecture, Tomás Oliveira e Silva: http://www.ieeta.pt/~tos/3x+1.html
The 3x + 1 Problem and its Generalizations, Jeffrey C. Lagarias (January 16, 1996): http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/paper/html/paper.html
Algorithme de Collatz et conjecture de Syracuse: http://trucsmaths.free.fr/js_syracuse.htm

Desenvolvimento em Série de Fourier da Onda Quadrada

Américo Tavares — Fri, 16 May 2008 06:35:07 +0000

Primeiras somas parciais de

Onda quadrada (a vermelho) no intervalo

\pi /2\end{array}\right.' title='\left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.' class='latex' />

e as somas parciais dos cinco primeiros termos da série de Fourier

Em virtude de ser par

Os coeficientes são

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

Relação de Parseval

Américo Tavares — Mon, 07 Apr 2008 08:24:58 +0000

A relação de Parseval toma a forma

quando a função , admite um desenvolvimento em série de Fourier relativamente às funções ortogonais do tipo

em que os coeficientes são os integrais

verifica-se, se e só se,

Notas:

A norma designa o integral .
A fórmula ou relação de Parseval generaliza a notação vectorial pois sabe-se que .
O produto interno de duas funções reais e é

Se as funções forem complexas, as definições alteram-se para:

A demonstração pode ser vista, por exemplo, em [Apostol, Mathematical Analysis, 2nd ed., Addison-Wesley Publishing Company, 1974, p. 309].

Resolução de um Problema Putman sobre fracções contínuas (em português e em inglês)

Américo Tavares — Sun, 09 Mar 2008 18:47:55 +0000

RESOLUÇÃO EM PORTUGUÊS

No site do departamento do Harvard’s Math Department apareceu em 1-3-2008 o seguinte enunciado (Putnam problem of the day):

« Evaluate

Express your answer in the form

where are integers. »

Resolução

Começo por calcular o radicando, notando que a fracção contínua

verifica

pelo que, como só poderá ser

e, após alguns cálculos

por este motivo

Para que

ou, de forma equivalente,

com inteiros, é necessário que seja inteiro, pelo que deve ser par. Vou admitir que por outro lado deverá ser igual a Então,

Como, para

excluo esta possibilidade. Resta

Vou confirmar

A solução pedida a que cheguei foi

Nota: O cálculo de

pode ser feito à mão da seguinte forma

Versão pdf : hmdputnam1mar08v4.pdf

RESOLUÇÃO EM INGLÊS

On March 1st, 2008, the Putnam problem of the day displayed on the Harvard’s Math Department site was stated as follows:

“ Evaluate

Express your answer in the form

where are integers. “

Solution

To evaluate the radicand I start by seeing that the continued fraction

satisfies

Thus, since the only solution left is

A few algebraic manipulations give

hence

In order to have

or equivalently,

with integers, should also be an integer; therefore should be even. I assume that On the other hand should be Thus,

Since, for

this possibility is excluded. It remains

Now I confirm

So, the solution I came was

Remark: The calculation of

can be done by hand as follows

Pdf version : hmdputnam1mar08english.pdf

Prova topológica da existência de cinco sólidos platónicos a partir da relação de Euler

Américo Tavares — Sat, 08 Mar 2008 15:22:54 +0000

pdf: eulersolidosplatonicosv2.pdf

A equação que relaciona o número de faces , vértices e arestas de um poliedro

(1)

aplicada ao cubo ( faces, vértices, arestas), traduz-se na igualdade

e, aplicada ao tetraedro, que é uma pirâmide equilátera ( faces, vértices, arestas), em

Num poliedro regular convexo (um segmento de recta que una quaisquer dois dos seus pontos não sai para fora do poliedro), em que cada face tem lados iguais, se multiplicar o número de faces por estes lados, conto as arestas duas vezes. Porquê? Porque cada aresta é a intersecção de duas faces adjacentes. No caso do cubo, em que as faces são quadrados () isto traduz-se em:

Para o tetraedro, cujas faces são triângulos equiláteros ( lados), pelo mesmo motivo, se multiplicar o número de faces por estes lados , obtenho

No caso geral de um poliedro regular convexo, em que cada face tem lados iguais, devido à dupla contagem será então:

Voltando ao cubo, em que cada vértice é o ponto de encontro de arestas, se multiplicar agora o número de vértices por estas arestas, obtenho o dobro do número de arestas, porque também estou a contar cada aresta duas vezes, em virtude de cada aresta unir dois vértives:

Fazendo o mesmo para o tetraedro, , obtenho, pelo mesmo motivo

O caso geral, em que cada vértice de um poliedro regular convexo é o ponto de encontro de arestas, traduz-se em

Assim, um poliedro regular convexo verifica a dupla igualdade

(2)

em que é o número inteiro de lados de cada face poligonal e o número inteiro de arestas que se intersectam em cada vértice, pelo que a equação (1) é equivalente a

ou a

(3)

Esta equação corresponde, no caso particular do cubo a

e no do tetraedro a

Mas há duas restrições aos possíveis valores inteiros de e : uma, em virtude do número de arestas ser positivo, é

\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2n+2m>mn\;\qquad' title='\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2n+2m>mn\;\qquad' class='latex' />

(4)

e a outra, porque o poliedro é um sólido tridimensional,

(5)

O número de lados de cada face define a sua forma poligonal: para é o triângulo equilátero, , o quadrado, , o pentágono regular. Será que num poliedro regular convexo poderá ser igual a ? Vamos ver que não.

Para a equação (3) assume o valor particular

e, pela restrição (4)

3n\Leftrightarrow n<6\qquad' title='2n+6>3n\Leftrightarrow n<6\qquad' class='latex' />

conclui-se que . Os dois casos vistos acima são o tetraedro, que corresponde a e o cubo, a . Para , vem

donde , e . Este poliedro regular com faces é o conhecido dodecaedro.

Para , a mesma equação (3) passa a ser

e agora a restrição (4),

4n\Leftrightarrow n<4\;\qquad' title='2n+8>4n\Leftrightarrow n<4\;\qquad' class='latex' />,

isto é, . O número de arestas, vértices e faces são, respectivamente, , e . É o octaedro, com oito faces que são triângulos equiláteros.

Para , (3) é a equação

e a condição (4)

5n\Leftrightarrow n<\dfrac{10}{3}<4\;\qquad' title='2n+10>5n\Leftrightarrow n<\dfrac{10}{3}<4\;\qquad' class='latex' />

logo, é também . O número de arestas, vértices e faces são, respectivamente, , e . É o icosaedro, com vinte faces que são triângulos equiláteros.

Para , a primeira forma de (4)

\dfrac{1}{2}\;\qquad' title='\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{2}\;\qquad' class='latex' />

permite estabelecer

\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{m}\ge \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow n<3,\qquad' title='\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{m}\ge \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow n<3,\qquad' class='latex' />

o que contraria a restrição (5). Isto prova que e que só há os cinco sólidos platónicos atrás referidos.

Fracções contínuas

Américo Tavares — Mon, 11 Feb 2008 17:25:59 +0000

INTRODUÇÃO ÀS FRACÇÕES CONTÍNUAS GENERALIZADAS
pdf: fracontgeneralizadas.pdf
Neste documento em versão pdf os meus leitores podem ver uma introdução às fracções contínuas generalizadas, bem como o exemplo do desenvolvimento em fracção contínua de . Esta introdução cobre essencialmente a dedução das relações de recorrência verificadas pelas fracções contínuas

exemplificado pelo desenvolvimento em fracção contínua da série .

Notação: A enésima fracção reduzida, obtida cortando a fracção contínua

pelos elementos , é uma expressão do tipo

Os numeradores e denominadores das fracções reduzidas de ordem verificam:

TRANSFORMAÇÃO EM FRACÇÃO CONTÍNUA DA SOMAS PARCIAIS DA SÉRIE ZETA(N)
pdf: transformacaozetafracont.pdf
Neste documento mostro como transformar as somas parciais da série em fracção contínua:

pelo que