Desenvolvimento em Série de Fourier da Onda Quadrada

Primeiras somas parciais de

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\cos x-\dfrac{2}{3\pi}\cos3x+\dfrac{2}{5\pi}\cos5x-\dfrac{2}{7\pi}\cos7x+\cdots$

Onda quadrada (a vermelho) no intervalo $\lbrack -\pi ,\pi \rbrack$

$f(x)=$ $\left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.$

e as somas parciais dos cinco primeiros termos da série de Fourier

$f(x)=$ $\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$

Em virtude de $f\left( x\right)$ ser par $b_{n}=0$

$f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx$

Os coeficientes $a_{n}$ são

$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{+\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\cdots$

$a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\;dx=1$

$a_{1}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos x\;dx=\dfrac{2}{\pi }$

$a_{3}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 3x\;dx=-\dfrac{2}{3\pi }$

$a_{5}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 5x\;dx=-\dfrac{2}{5\pi }$

$a_{7}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 7x\;dx=-\dfrac{2}{7\pi }$

$a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots =a_{2n}=0$

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

This entry was posted on Maio 16, 2008 at 5:35 am and is filed under Matemática. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

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