Resolução de um Problema Putman sobre fracções contínuas (em português e em inglês)

Publicado emMarço 9, 2008

RESOLUÇÃO EM PORTUGUÊS

No site do departamento do Harvard’s Math Department apareceu em 1-3-2008 o seguinte enunciado (Putnam problem of the day):

« Evaluate

$\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}$

Express your answer in the form

$\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}$ ,

where $a,b,c,d$ are integers. »

$\bigskip$

Resolução

$\bigskip$

Começo por calcular o radicando, notando que a fracção contínua

$x=\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}$

verifica

$x=\dfrac{1}{2207-x}$

pelo que, como $\dfrac{1}{2}\left( 2207+\sqrt{2207^2-4}\right) \approx 2207,$ só poderá ser

$x=\dfrac{2207-\sqrt{2207^2-4}}{2}$

e, após alguns cálculos

$2207-x=\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2};$

por este motivo

$\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}}=\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}.$

Para que

$\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}$

ou, de forma equivalente,

$\dfrac{d^8}{2}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =\left( a+b\sqrt{c}\right) ^8,$

com $a,b,c$ inteiros, é necessário que $d^8/2$ seja inteiro, pelo que $d$ deve ser par. Vou admitir que $d=2;$ por outro lado $c$ deverá ser igual a $5.$ Então,

$2^7\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =126\,336\sqrt{5}+282\,496=\left( a+b\sqrt{5}\right) ^8$

$\bigskip$

$\displaystyle a+b\sqrt{5}=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }$

$\bigskip$

$\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-b\sqrt{5}$

$\bigskip$

Como, para $b=2$

$\bigskip$

$\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-2\sqrt{5}<1$

excluo esta possibilidade. Resta $b=1$

$\bigskip$

$\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-\sqrt{5}\approx 5,\,236\,1-2,\,236\,1=3,\,000$

$\bigskip$

Vou confirmar

$\displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.$

$\bigskip$

A solução pedida a que cheguei foi

$\bigskip$

$\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.$

$\bigskip$

Nota: O cálculo de $\displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.$

pode ser feito à mão da seguinte forma

$\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}=6\sqrt{5}+14$

$\bigskip$

$\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{4}=\left( 6\sqrt{5}+14\right) ^{2}=168\sqrt{5}+376$

$\bigskip$

$\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=\left( 168\sqrt{5}+376\right)^{2}=126\,336\sqrt{5}+282\,496$

Versão pdf : hmdputnam1mar08v4.pdf

$\bigskip$

RESOLUÇÃO EM INGLÊS

On March 1st, 2008, the Putnam problem of the day displayed on the Harvard’s Math Department site was stated as follows:

“ Evaluate

$\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}$

Express your answer in the form

$\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}$ ,

where $a,b,c,d$ are integers. “

$\bigskip$

Solution

To evaluate the radicand I start by seeing that the continued fraction

$x=\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}$

satisfies

$x=\dfrac{1}{2207-x}$ .

Thus, since $\dfrac{1}{2}\left( 2207+\sqrt{2207^2-4}\right) \approx 2207,$ the only solution left is

$x=\dfrac{2207-\sqrt{2207^2-4}}{2}$ .

A few algebraic manipulations give

$2207-x=\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2};$

hence

$\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}}=\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}.$

In order to have

$\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}$

or equivalently,

$\dfrac{d^8}{2}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =\left( a+b\sqrt{c}\right) ^8,$

with $a,b,c$ integers, $d^8/2$ should also be an integer; therefore $d$ should be even. I assume that $d=2;$ On the other hand $c$ should be $5.$ Thus,

$2^7\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =126\,336\sqrt{5}+282\,496=\left( a+b\sqrt{5}\right) ^8$

$\bigskip$

$\displaystyle a+b\sqrt{5}=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }$

$\bigskip$

$\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-b\sqrt{5}.$

$\bigskip$

Since, for $b=2$

$\bigskip$

$\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-2\sqrt{5}<1$ ,

this possibility is excluded. It remains $b=1$

$\bigskip$

$\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-\sqrt{5}\approx 5,\,236\,1-2,\,236\,1=3,\,000$

$\bigskip$

Now I confirm

$\displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.$

$\bigskip$

So, the solution I came was

$\bigskip$

$\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.$

$\bigskip$

Remark: The calculation of $\displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496$

can be done by hand as follows

$\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}=6\sqrt{5}+14$

$\bigskip$

$\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{4}=\left( 6\sqrt{5}+14\right) ^{2}=168\sqrt{5}+376$

$\bigskip$

$\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=\left( 168\sqrt{5}+376\right)^{2}=126\,336\sqrt{5}+282\,496$

Pdf version : hmdputnam1mar08english.pdf

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