Por diversos motivos não consegui autonomizar este meu blogue do problemas | teoremas. Sendo assim suspendo-o por tempo indefinido. A retomar a publicação fá-lo-ei apenas se conseguir criar entradas e temas ou forma de apresentação diferenciadas do blogue principal problemas | teoremas.

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Agradeço que os eventuais comentadores usem de preferência o meu endereço de e-mail acltavares@sapo.pt para quaisquer comentários ou pedidos de esclarecimentos suscitados por qualquer das entradas deste blogue.

Obrigado a todos os que por aqui passaram ou continuarem a passar.

A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte

Teorema: Para todo o vector \mathbf{x}=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n} e todo o vector \mathbf{y}=\left( y_{1},\ldots ,y_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}, tem-se:

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}

ou

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right) ^2\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right).

Demonstração

Qualquer que seja o real \lambda , tomo o vector \mathbf{x}-\lambda\mathbf{y}, e vou achar

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}.

Seja qual for o \lambda , o trinómio do lado direito, em \lambda , não muda de sinal, é sempre positivo ou igual a zero, porque o número \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2} é não negativo:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\geq 0,

o que implica que o seu descriminante seja menor ou igual a zero

\Delta =\left( 2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}-4\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \leq 0,

significando que

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) .

Daqui pode ainda concluir-se que

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}.

Se algum dos vectores \mathbf{x,y} for nulo, esta relação é evidentemente verificada.

\square

O significado geométrico em \mathbb{R}^{3} desta desigualdade é o de que o produto interno de dois vectores é menor ou igual ao produto dos módulos (das normas) desses vectores.

A hipociclóide é a curva descrita por um dado ponto P de uma circunferência que rola, sem escorregar, interiormente sobre outra. Se o raio da circunferência exterior for quádruplo do da interior, a curva é conhecida por astróidenão confundir com asteróide — e as suas equações paramétricas são

x=a\cos^{3}t

y=a\sin^{3}t

e a cartesiana,

x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.

O gráfico, para a=1, é o seguinte

 

Sabe-se que, se a derivada de uma função real f existir e for contínua no intervalo \lbrack a,b\rbrack , o gráfico de f é rectificável e o seu comprimento L, entre os dois pontos de abcissa a e b, é dado por

L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left[ f^{\prime }\left( x\right) \right] ^{2}}\; dx (1)

ou, se x,y forem funções reais da variável real t

x=\varphi (t)

y=\psi (t),

com primeira derivada contínua, então

L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \varphi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ \psi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}\; dt (2).

Determine o perímetro da curva representada (a=1).
Resolução:
Como a curva, por ser simétrica em relação aos dois eixos, tem um perímetro L que é quatro vezes o valor do integral seguinte

I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left[ \left( \cos^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}+\left[ \left( \cos^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}}\; dt =\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left( -3\cos^2 t\cdot\sin t\right) ^{2}+\left( 3\sin^2 t\cdot\cos t\right) ^{2}}\; dt

=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{9\cos^2 t\cdot\sin^2 t}\; dt=3\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cdot\cos t\; dt =3\left[ \dfrac{\sin ^{2}t}{2}\right] _{0}^{\pi /2}=3\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2};

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L=4I=6.

Começo por considerar sistemas de funções ortogonais para desenvolver a questão da representação de uma função em série do tipo

f(x)=\displaystyle\sum_{n} c_{n}\phi_{n}(x)

em que \phi_{n}(x) são precisamente funções ortogonais em \lbrack a ,b\rbrack .

Chamam-se funções ortogonais às funções [complexas de variável real] que satisfazem as seguintes condições:

\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx=0\qquad \text{para }n\neq m

\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx>0\qquad \text{para }n=m

Revestem-se de grande interesse nas aplicações as funções do tipo \cos nx e \sin nx.

Chama-se norma de um sistema de funções ortogonais a

\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\sqrt{\left( \phi_{n}\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{n}\left( x\right) \;dx}.

Um sistema ortogonal diz-se ortonormado se a sua norma for igual à unidade: \left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =1

Exemplo 1: \phi_{n}\left( x\right) =e^{inx} definida em \lbrack -\pi ,\pi\rbrack .

\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx

=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{inx}\, e^{-imx}\;dx=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left( n-m\right)x} \;dx =\dfrac{1}{i\left( n-m\right)}\times \left[ e^{i\left( n-m\right) x}\right] _{-\pi }^{\pi }

=0\qquad \text{para }n\neq m

=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\;dx=2\pi\qquad \text{para }n=m

\left\vert \left\vert e^{inx}\right\vert \right\vert =\sqrt{2\pi}\blacktriangleleft

Consideremos uma função de variável real f(x)

f(x)=\displaystyle\sum_{n}c_{n}\phi_{n}(x)\qquad a\le x\le b

 

e as seguintes hipóteses:

  1. a série converge;
  2. converge para f(x)

Multiplicando a série por \overline{\phi }_{m}(x) vem

f(x)\overline{\phi }_{m}(x)=\displaystyle\sum_{m} c_{m}\phi_{n}(x)\overline{\phi }_{m}(x)

e

\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi }_{m}(x)\; dx=\displaystyle\sum_{m} c_{n}\int_{a}^{b}\phi_{m}(x)\overline{\phi }_{n}(x)\; dx

 porque pode trocar-se a ordem de \displaystyle\int e \displaystyle\sum, se admitirmos a convergência uniforme da série no intervalo \lbrack a ,b\rbrack . Assim,

\displaystyle\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)=c_{n}\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2},

ou seja,

c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}

Aos coeficientes c_n chamam-se os coeficientes de Fourier. À série chama-se série de Fourier relativa ao conjunto de funções ortogonais \phi_n(x).

NOTA: esta dedução não é rigorosa!

Consideremos uma função f(x) de quadrado integrável no intervalo \left[ a,b \right]. Vamos aproximar f(x) por uma expressão da forma

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_n\phi_n(x)

Seja \epsilon o erro quadrático médio. Vamos impor que \epsilon^2 seja mínimo.

\epsilon^2= \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_n\phi_n(x)\right\vert^2\; dx

o que é o mesmo que

(b-a)\epsilon^2= \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx -\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}

+\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \left\vert c_n\times||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\times (f\cdot\overline{\phi}_n)\right\vert ^2.

DEDUÇÃO:

Dados dois complexos z e w, verifica-se

|z-w|^2=(z-w)\overline{(z-w)}=|z|^2+|w|^2-z\overline{w}-\overline{z}w.

Assim, tem-se

\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}= \left\vert f(x)\right\vert^{2} +\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\vert^{2} -f(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\overline{c}_{n}\overline{\phi}_{n}(x) -\overline{f}(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x),

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)=\left (\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right )\overline{\left (\displaystyle\sum_{m=1}^{N}c_{m}\phi_{m}\right )}=\displaystyle\sum_{n,m=1}^{N}c_{n}\overline{c}_{m}\phi_{n}(x)\overline{\phi}_{n}(x)

e

\left\vert c_n||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi}_n(x)\; dx\right\vert ^2 =|c_n|^2||\phi_n||^2 +\left\vert\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int f(x)\overline{\phi}_{n}(x)\; dx\right\vert ^2 -c_{n}||\phi_n||\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f(x)}\phi_{n}(x)\; dx -\overline{c}_{n}||\phi_n||\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi}_{n}\; dx

donde resulta

\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}\; dx= \displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert^{2}\; dx +\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\vert^{2}\; dx -\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\overline{c}_{n}\overline{\phi}_{n}(x)\; dx -\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f}(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\; dx

=\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert ^2\; dx -\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n)|^2}{||\phi_n||^2} +\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left\vert c_{n}||\phi_n||-\dfrac{(f\cdot\overline{\phi}_n}{||\phi_n||}\right\vert ^2,

ou seja, a fórmula acima que se repete:

(b-a)\epsilon^2= \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx -\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}

+\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \left\vert c_n\times||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\times (f\cdot\overline{\phi}_n)\right\vert ^2.

Os termos

\displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx -\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}

são independentes de c_n. Para minimizar \epsilon deve ter-se

c_{n}\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert}

que é equivalente a

c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}

ou a

|c_n|^2||\phi_n||^2=\left\vert\dfrac{(f\cdot\overline{\phi}_n)}{||\phi||^2}\right\vert ^{2}||\phi_n||^2 =\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n)|^2}{||\phi_n||^2}

Vimos então que os coeficientes da série de Fourier c_n minimizam o erro quadrado médio.

(b-a)\epsilon_{\text{min}}^2= \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx -\displaystyle\sum_{n=1}^{N} |c_n|^2||\phi_n||^2\ge 0

Fazendo tender N para infinito, no limite tem-se a desigualdade de Bessel

\displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx \ge\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2||\phi_n||^2.

Se o sistema for ortonormado, ||\phi_n||=1, e

\displaystyle\sum_{n=1}^{N} |c_n|^2\le\displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2\; dx =\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)f\overline{f}(x)\; dx=||f||^2

Para as funções de quadrado integrável, a série

\displaystyle\sum_{n=1}^{N} |c_n|^2||\phi_n||^2

converge. A seguinte igualdade verifica-se, se e só se, o erro quadrático médio for nulo; então, será

\displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2||\phi_n||^2

e o sistema de funções \phi_{n}(x) é completo. Então

\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}\; dx=0.

Nestas condiçoes, diz-se que a série de Fourier converge em média para f(x), mas a convergência não é necessariamente uniforme. Por definição uma série converge uniformemente para uma função quando simbolicamente se verificar

\underset{\varepsilon >0}{\forall }\; \underset{N_{1}}{\exists }\; \underset{x\in \lbrack a,b]}{\forall }\; N>N_{1}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon  

Para cada \varepsilon >0, existe um inteiro N_{1} tal que, N>N_{1} implica \left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon , para todo o x no intervalo \lbrack a ,b\rbrack . O facto essencial é que N_{1} é independente de x. Normalmente dependeria de \varepsilon .

Os sistemas completos, em que \sum c_{n}\phi_{n}(x) converge em média para f(x), esta  convergência  não implica  convergência em todos os pontos.

Se considerarmos duas funções, f_{1}(x) e f_{2}(x), que diferem apenas num número finito de pontos e calcularmos os coeficientes

c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}

obtemos o mesmo valor, visto que

\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi_{n}(x)}\; dx=(f\cdot\overline{\phi_{n}(x)})

tem o mesmo valor para as duas funçoes, o que leva a que ambas sejam representadas pela mesma série de Fourier. A série de Fourier pode não convergir para o valor da função num conjunto finito de pontos.

Para os sistemas completos é possível deduzir a seguinte relação:

Dadas duas funções f(x) e g(x) representadas pelas séries

f(x)=\displaystyle\sum c_{n}\phi_{n}(x)

g(x)=\displaystyle\sum d_{n}\phi_{n}(x)

é possível demonstrar que

  1. \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{g}_{n}(x)\; dx=\displaystyle\sum c_{n}\overline{d}_{n}||\phi_n||^2
  2. \displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum |c_{n}|^2||\phi_n||^2, fazendo em 1. g(x)=f(x).

 

À relação 1. costuma chamar-se relação de Parseval na forma geral. à seguinte, chamar-se-á relação de Parseval na forma particular. Se soubermos de antemão que um determinado sistema de funções é completo, podemos determinar a soma de certas séries de interesse prático, à custa da relação de Parseval: exemplo, a série
\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}=\dfrac{\pi^2}{8}.
Exemplo 2: O sistema de funções \sin nx (n=1,2,\dots) é ortogonal no intervalo \lbrack 0,\pi\rbrack . Determine os coeficientes de Fourier da série
f(x)=1=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\sin nx \qquad\qquad (0\le x\le\pi)
e verifique que aquele sistema é completo em relação a esta função.
\bigskip

 

 

Começo por calcular as quantidades:
||\phi_n||^2=||\sin nx||^2=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2}nx\; dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1-\cos 2nx)\; dx =\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}(\sin 2nx-\sin 0)=\dfrac{\pi}{2}
\bigskip
(f\cdot\overline{\phi}_n)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin nx\; dx=-\dfrac{1}{n}(\cos n\pi -\cos 0)=\dfrac{2}{n},
 para n ímpar e
(f\cdot\overline{\phi}_n)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin nx\; dx=-\dfrac{1}{n}(\cos n\pi -\cos 0)=0,
 para n par
\bigskip
Deste modo

c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}=0, se n é par e

c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{4}{n\pi}, se n é ímpar.

Podemos agora verificar se a igualdade

\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^2||\phi_n||^2

é satisfeita: Temos
\displaystyle\int_{0}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\pi
\displaystyle\sum_{1,3,\dots}^{\infty}|c_{n}|^2||\phi_n||^2=\dfrac{16}{\pi^2}\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\sum_{1,3,\dots}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{8}{\pi}\dfrac{\pi^2}{8}=\pi=\displaystyle\int_{0}^{\pi}|f(x)|^2\; dx
o que significa que o sistema \sin nx é completo em relação à função f(x)=1, x\in\lbrack 0,\pi\rbrack . \blacktriangleleft
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NOTA: Utilizei a soma da série \displaystyle\sum_{1,3,\dots}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{8} (veja também abaixo).
Desenvolve-se em série trigonométrica de Fourier, que será vista posteriormente,  a função f(x)=\dfrac{\pi^2}{4}, x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack , chegando-se a 
\dfrac{\pi^2}{12}=\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{4^2}+\cdots,
\dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots.
Somando-as, obtém-se
\dfrac{\pi^2}{8}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\cdots.
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Outro método mais à frente é uma consequência do Problema 2.
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Série Trigonométrica de Fourier

A série trigonométrica de Fourier é o caso particular das séries de Fourier que utiliza o sistema de funções ortogonais \cos nx e \sin nx:

1,\cos x,\cos 2x,\ldots ,\sin x,\sin 2x,\cdots

Sendo \delta _{nm} o delta de Kronecker

\delta _{nm}=\left\{\begin{array}{c}1\qquad n=m\\\text{0}\qquad n\neq m\end{array}\right.

os integrais envolvidos podem exprimir-se facilmente nos seguintes termos:

\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\;dx= \left\{\begin{array}{c}\pi\delta _{nm}\qquad n,m\neq 0\\2\pi\qquad n=m=0\end{array}\right.

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi }\sin nx\sin mx\;dx=\pi\delta _{nm}

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi }\sin nx\cos mx\;dx=0\qquad\forall n,m

Consideremos a seguinte série de Fourier

f\left( x\right) \sim\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)

Os coeficientes a_{n} e b_{n} são os seguintes integrais

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\ldots

b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx\qquad n=1,2,3,\ldots

Estas relações são válidas para qualquer outro intervalo de largura 2\pi . Admitamos que f\left( x\right) é uma função de quadrado integrável e que \phi _{n} é um sistema ortogonal; vimos que

c_{n}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }{||\phi _{n}||^{2}}.

Neste caso as três normas são dadas por

||1||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }1^{2}\;dx=2\pi

||\sin nx||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}nx\;dx=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2nx\right) \;dx=\pi

||\cos nx||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}nx\;dx=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2nx\right) \;dx=\pi

e os coeficientes por

c_{1}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{1}\right) }{||\phi _{1}||^{2}}=\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \;dx=\dfrac{a_{o}}{2}

c_{2n}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{2n}\right) }{||\phi _{2n}||^{2}}

=\dfrac{1}{||\cos nx||^{2}}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx=a_{n}

c_{2n+1}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{2n+1}\right) }{||\phi_{2n+1}||^{2}}

=\dfrac{1}{||\sin nx||^{2}}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx=\frac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx=b_{n}.

A série

\displaystyle\sum_{n}|c_{n}|^{2}||\phi _{n}||^{2}

é da forma

\displaystyle\sum_{n}\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)

que, sendo convergente, implica que a_{n}\rightarrow 0 e b_{n}\rightarrow 0.

É possível demonstrar que, para que a_{n},b_{n}\rightarrow 0 \left( n\rightarrow \infty \right) é suficiente que f\left( x\right) seja absolutamente integrável.

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Teorema: se f\left( x\right) satisfizer as seguintes condições

  1. for injectiva;
  2. for limitada em x\in\lbrack a,b\rbrack ;
  3. tiver um número finito de máximos e mínimos;
  4. e tiver um número finito de descontinuidades de primeira espécie (quando existem limites finitos da função à esquerda e à direita do ponto da descontinuidade).

Então a série trigonométrica de Fourier converge para a seguinte quantidade

\dfrac{1}{2}\left[ f\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \right] =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) .

As condições anteriores, que se designam por condições de Dirichlet, são condições suficientes de convergência.

Nos intervalos em que a função é contínua, a convergência da série é uniforme. Se f\left( x\right) for contínua em todo o intervalo, a série trigonométrica de Fourier converge uniformemente em todo o intervalo.

Como consequência do teorema anterior, resulta que o conjunto das funções \sin nx, \cos nx é um conjunto completo para as funções que satisfazem as condições de Dirichlet, isto é

\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{2}\;dx=\dfrac{a_{0}^{2}}{4}2\pi +\displaystyle\pi \sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)

ou

\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left\vert f\left( x\right) \right\vert^{2}\;dx=\dfrac{a_{0}^{2}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)

que é a relação de Parseval neste caso.

Dada uma função f\left( x\right) definida no intervalo x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack , se f\left( x\right) satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para \dfrac{1}{2}\lbrack\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \rbrack . Mas, o que é que acontece fora do intervalo \lbrack -\pi,\pi\rbrack ? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de f\left( x\right) . Se f\left( x\right) for periódica de período 2\pi , a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo a_{1}\cos x+b_{1}\sin x designamo-lo por fundamental, o termo a_{n}\cos x+b_{n}\sin nx , harmónica de ordem n .

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Problema 1 – Mostre que o sistema de funções \sin nx, em que n=1,2,3,\ldots é ortogonal no intervalo \lbrack -\pi,\pi\rbrack e determine a respectiva norma.

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Resolução

Num sistema ortogonal


\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\overline{\phi }_{m}\;dx\left\{\begin{array}{c}=0\qquad n\neq m\\>0\qquad n=m\end{array}\right.

A sua norma é dada por

\int_{a}^{b}|\phi _{n}|^{2}\;dx=||\phi _{n}||^{2}>0

Como fórmulas a aplicar, temos as seguintes trigonométricas

\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b

\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm\sin b\cos a

\cos 2a=\cos^{2}a-\sin ^{2}a=1-2\sin^{2}a=2\cos ^{2}a-1\qquad (a=b)

Donde

\sin a\sin b=\dfrac{\cos \left( a-b\right) -\cos \left( a+b\right) }{2}

\sin ^{2}a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}\qquad (a=b)

Ora, como para n\neq m

\displaystyle\int_{0}^{\pi }\sin nx\text{ }\sin mx\;dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi }\cos\left( n-m\right) x-\cos\left( n+m\right) x\;dx

=\dfrac{1}{2}\left\lbrack\dfrac{1}{n-m}\sin \left( n-m\right) x-\dfrac{1}{n+m}\sin\left( n+m\right) x\right\rbrack_{0}^{\pi }=0

e para n=m

||\sin nx||^{2}=\int_{0}^{\pi }\sin ^{2}nx\text{ }dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi }1-\cos 2a\text{ }dx=\dfrac{\pi }{2}

o sistema é efectivamente ortogonal e a sua norma

||\sin nx||=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}.

\bigskip

Problema 2 – Considere o sistema de funções

\cos n\pi\dfrac{x}{l} (n=0,1,2,\ldots ).

1. Mostre que o sistema é ortogonal no intervalo \lbrack 0,l\rbrack.

2. Deduza a expressão dos coeficientes da série de Fourier associados à função f\left( x\right) definida naquele intervalo.

3. Calcule o valor dos coeficientes de Fourier para f(x)=\dfrac{x}{t}

\bigskip

Soluções:

1.

\displaystyle\int_{0}^{l}\cos n\pi\dfrac{x}{l}\cos m\pi\dfrac{x}{l}\text{ }dx=\left\{\begin{array}{c}\dfrac{l}{2}\qquad n=m\neq 0\\l\qquad n=m=0\\\text{0}\qquad\qquad n\neq m\end{array}\right.

2.

c_{n}=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int_{0}^{l}f\left( x\right) \cos n\pi\dfrac{x}{l}\text{}dx\\c_{0}=\dfrac{1}{l}\int_{0}^{l}f\left( x\right) \text{ }dx

3.

c_{n}=\left\{\begin{array}{c}0\qquad \qquad n\text{ par}\\-\dfrac{4}{n^{2}\pi^{2}}\qquad n\text { \'{\i}mpar}\end{array}\right.

c_{0}=\frac{1}{2}

Nota adicional: nestas condições

f\left( x\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\left( \cos\dfrac{\pi x}{l}+\dfrac{1}{3^{2}}\cos\dfrac{3\pi x}{l}+\dfrac{1}{5^{2}}\cos\dfrac{5\pi x}{l}+\cdots\right)

\dfrac{x}{t}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\left( \cos\dfrac{\pi x}{l}+\dfrac{1}{3^{2}}\cos\dfrac{3\pi x}{l}+\dfrac{1}{5^{2}}\cos\dfrac{5\pi x}{l}+\cdots\right)

Para x=0, vem

0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2n+1\right) ^{2}}

donde

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2n+1\right) ^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{8}.

 

 

Problema 3 – Verifique que o sistema de funções \cos nx (n=0,1,2,3,\dots) não é completo no intervalo \lbrack a,b\rbrack.

Resolução

Não é possível definir funções ímpares à custa da soma dos cosenos.

  • Função par: f(x)=f(-x)
  • Função ímpar: f(x)=-f(-x)

Para que o sistema de funções \phi_{n}(x) seja completo é necessário que

\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\;dx =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2.

Considerando uma função ímpar I(x) não identicamente nula em \lbrack a,b\rbrack, verifica-se que os coeficientes da série de Fourier associada a I(x) são todos nulos:

c_n=\dfrac{(f\cdot\overline{\phi_n})}{||\phi_n||^2}=\dfrac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}I(x)\cos nx\; dx}{||\phi_n||^2}=0

I(x)\cos nx é o produto de uma função ímpar com uma função par e, portanto, este produto é uma função par. Dado o intervalo de integração, o integral do numerador é nulo. Nestas condições o integral \displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx , que é maior do que zero, é concerteza maior do que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2 , que é igual a zero. \blacktriangleleft

Problema 4 – Mostre que se um sistema de funções \phi_n(x) é ortogonal e completo, uma função contínua f(x) que seja ortogonal a todas as funções do sistema é identicamente nula.

Resolução

Como f é ortogonal,

c_n=\dfrac{(f\cdot\overline{\phi_n})}{||\phi_n||^2}=0.

Sendo o sistema completo

\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum |c_{n}|^2||\phi_n||^2.

Como f é contínua, por hipótese, para que o seu quadrado possua um integral igual a zero, f tem de ser identicamente nula. \blacktriangleleft

 

Problema 5

1. Verifique que o sistema de funções \sin px (p=1,2,3,\dots) e \cos px (p=0,1,2,\dots) é ortogonal no intervalo \lbrack\-\pi,\pi\rbrack e determine os coeficientes a_p e b_p da série trigonométrica

\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{p=1}^{\infty}(a_p\cos px+b_p\sin px)

associada a uma função f(x) de quadrado integrável.

2. Sabendo que

\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}

verifique que aquele sistema é completo em relação à função

f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1\qquad -\pi\le x<0\\+1\qquad 0<x\le-\pi\end{array}\right.

Resolução

1. Para o sistema de funções 1,\sin px (p=1,2,3,\dots) e 1,\cos px (p=0,1,\dots) tem-se:

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos px\; dx=0

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin px\; dx=0

Se p\ne q

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\sin qx\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p-q)x-\cos(p+q)x\; dx =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi } =0-0=0

\bigskip

 

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos qx\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p-q)x+\cos(p+q)x\; dx =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi } =0+0=0

e

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\cos qx\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(p-q)x+\sin(p+q)x\; dx =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi } =0+0=0

Se p\neq q

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\cos px\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin (p-p)x+\sin (p+p)x\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}0+\sin (p+p)x\; dx =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos 2px}{2p}\right]_{-\pi}^{\pi } =0+0=0.

Por outro lado, os quadrados das três normas são

||\sin px||^2 =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}px\; dx =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1-\cos 2px)\; dx =\dfrac{1}{2}\left[ x\right]_{\pi}^{\pi }+0 =\pi

||\cos px||^2 =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}px\; dx =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1+\cos 2px)\; dx =\dfrac{1}{2}\left[ x\right]_{\pi}^{\pi }+0 =\pi

||1||^2 =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx =2\pi
e as próprias normas,

 

||\sin px|| =\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}px\; dx}=\sqrt{\pi}

||\cos px|| =\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}px\; dx}=\sqrt{\pi}
||1||=\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx}=\sqrt{2\pi}

 

Verificam-se, portanto, as seguintes relações de ortogonalidade:

\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos qx\; dx=\delta_{pq}

\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\sin qx\; dx=\delta_{pq}

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\sin qx\; dx=\delta_{pq}

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos kx\; dx=0

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin kx\; dx=0

ou na notação das funções ortogonais \phi_n, em que

\phi_0(x)=1

\phi_{2n-1}(x)=\cos nx

\phi_{2n}(x)=\sin nx,

estas relações exprimem-se por

||\phi_0||=||1||=\sqrt{2\pi}

||\phi_{2n-1}||=||\cos nx||=\sqrt{\pi}

||\phi_{2n}||=||\sin nx||=\sqrt{\pi}.

A partir das relações a seguir indicadas entre os coeficientes c_n e a_n,b_n podemos calcular o valor destes últimos pela fórmula geral

c_n=\dfrac{(f\cdot\overline{\phi_n})}{||\phi_n||^2}.

Como os coeficientes c_n são dados por

c_0=\dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx

c_{2n-1}=a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx

c_{2n}=b_{2n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx

os coeficientes a_n,b_n são então

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx

a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx

b_{2n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx.

2. Para a função f

f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1\qquad -\pi\le x<0\\+1\qquad 0<x\le-\pi\end{array}\right.

tem-se

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2

e

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{0} -1\; dx+\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\; dx=0

 

a_p=\dfrac{1}{\pi}\left[\displaystyle\int_{-\pi}^{0}-\cos px\; dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos px\; dx\right]

=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[-\sin px\right]_{-\pi}^{0}+\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\sin px\right]_{0}^{\pi}=0+0=0.

A interpretação para este valor nulo do coeficiente a_n é que sendo f ímpar a função não precisa dos cosenos, que são funções pares. Quanto ao coeficiente b_n tem-se

b_p=\dfrac{1}{\pi}\left[\displaystyle\int_{-\pi}^{0}-\sin px\; dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin px\; dx\right]

=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\cos px\right]_{-\pi}^{0}-\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\cos px\right]_{0}^{\pi}=0+0=0

=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}{[1-(-1)^p]-[(-1)^p-1]}

pelo que

b_p=\left\{\begin{array}{l}0\qquad \text{se }p\text{\ par}\\\dfrac{4}{p\pi}\quad \text{se }p\text{ \'{\i}mpar}\end{array}\right.

O desenvolvimento em série de Fourier da função f é então

f(x)=\dfrac{4}{\pi}\sin x+\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{3}\sin 3x+\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{5}\sin 5x+\cdots.

O sistema é completo porque

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx=2\pi

e

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}||c_n||^2||\phi_n||^2=\left(\dfrac{a_0}{2}\right)^2||1||^2+{a_1}^2||\cos x||^2+{b_1}^2||\sin x||^2+\cdots

=\left(\dfrac{4}{\pi}\right)^2\pi\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2} =2\pi.

Problema 6

Calcule os coeficientes da série trigonométrica de Fourier associada a cada uma das funções indicadas

1.

f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\qquad -\pi\leq x<-\pi /2\\1\qquad\;\;-\pi /2\leq x<-\pi/2\\\text{0}\qquad\qquad\pi/2\leq x\leq\pi\end{array}\right.

2.

f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\qquad -\pi\leq x<0\\1\qquad 0\leq x<\pi\end{array}\right.

3.

f(x)=\left\{\begin{array}{l}-mx\qquad -\pi\leq x\leq 0\\mx\qquad 0\leq x\leq \pi\end{array}\right.

4.

f(x)=mx\qquad 0<x\le 2\pi

Respostas

1.

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx =1

a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx =\dfrac{2}{n\pi}\sin\dfrac{n\pi}{2}

b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx =0

2.

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx =1

a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx =0

b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx =\dfrac{1}{n\pi}(-\cos n\pi+1)

3.

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx =0

a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx =-\dfrac{2}{\pi}\dfrac{m}{n^2}+\dfrac{2}{\pi}\dfrac{m\cos n\pi}{n^2}

b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx =0

4.

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\; dx =2m\pi

a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\; dx =0

b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nx\; dx =-2\dfrac{m}{n}

Problema 7

Faça, para a função

f(x)= \left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.

do problema 6.1, a representação gráfica da soma parcial da respectiva série para um número crescente de harmónicas.

Resolução

f(x)\sim\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi }\cos x-\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{3}\cos 3x+\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{5}\cos 5x-\cdots +\dfrac{2}{(2m+1)\pi }\sin \dfrac{(2m+1)\pi}{2}\cos \left( 2m+1\right)+\cdots

Primeiras somas parciais de da série de Fourier representativa da função f(x)

\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\cos x-\dfrac{2}{3\pi}\cos3x+\dfrac{2}{5\pi}\cos5x-\dfrac{2}{7\pi}\cos7x+\cdots

Gráfico da função f(x) — onda quadrada (a vermelho) no intervalo \lbrack -\pi ,\pi \rbrack – e as somas parciais dos cinco primeiros termos da sua série de Fourier

f(x)= \dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)

Em virtude de f\left( x\right) ser par b_{n}=0

f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx

Os coeficientes a_{n} são

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{+\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\cdots

a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\;dx=1

a_{1}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos x\;dx=\dfrac{2}{\pi }

a_{3}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 3x\;dx=-\dfrac{2}{3\pi }

a_{5}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 5x\;dx=\dfrac{2}{5\pi }

a_{7}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 7x\;dx=-\dfrac{2}{7\pi }

a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots =a_{2n}=0

Valor médio

\dfrac{1}{2}

Fundamental

\dfrac{2}{\pi }\cos x

3ª harmónica

-\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{3}\cos 3x

5ª harmónica

\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{5}\cos 5x

7ª harmónica

-\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{7}\cos 7x

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

Dada uma função f\left( x\right) definida no intervalo x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack , se f\left( x\right) satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para \dfrac{1}{2}\lbrack\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \rbrack . Mas, o que é que acontece fora do intervalo \lbrack -\pi,\pi\rbrack ? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de f\left( x\right) . Se f\left( x\right) for periódica de período 2\pi , a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo a_{1}\cos x+b_{1}\sin x designamo-lo por fundamental, o termo a_{n}\cos x+b_{n}\sin nx , harmónica de ordem n

Algumas propriedades dos coeficientes de Fourier

  1. Se f(x) for par: f(x)=f(-x), b_n=0
  2. Se f(x) for ímpar: f(x)=-f(-x), a_n=0
  3. Se f(x) tiver duas alternância, sendo uma a imagem num espelho da outra: f(x)=-f(x+\pi), a_n=b_n=0, para n par
  4. Se f(x) for periódica de período \pi: f(x)=-f(x+\pi), a_n=b_n=0, para n ímpar.

Problema 8

Demonstre que qualquer função f(x) definida no intervalo \lbrack 0,\pi \rbrack e satisfazendo as condiçoes de Dirichlet neste intervalo é representável pela série

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin nx

para x\in\lbrack 0,\pi \rbrack, que esta série converge para

\dfrac{1}{2}\lbrack f(x^{+})+f(x^{-})\rbrack

e escreva a expressão dos coeficientes c_n.

Resposta

c_n=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx

O problema 3x + 1, também conhecido por conjectura de Collatz, está por resolver. Consiste no seguinte:

Considera-se um número inteiro positivo superior a 1. Se for par divide-se por dois, se for ímpar multiplica-se por três e soma-se-lhe um. Ao novo número assim obtido faz-se o mesmo, e assim sucessivamente, até que se chegue a 1.

Conjectura-se que qualquer que seja o número inicial, a sequência gerada acaba sempre no número um.

Exemplo: 5, 16, 8, 4, 2, 1

Cálculo:

5×3+1= 16, 16÷2= 8, 8÷2= 4, 4÷2= 2, 2÷2= 1

Outro exemplo (o do gráfico em cima): 27, 82, 41, 124, …, 3077, 9232, 4616, …, 46, 23, 70, …, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Cálculo:
27×3+1= 82, 82÷2= 41
41×3+1= 124, 124÷2= 62, 62÷2= 31
31×3+1= 94, 94÷2= 47
47×3+1= 142, 142÷2= 71
71×3+1= 214, 214÷2= 107
107×3+1= 322, 322÷2= 161
161×3+1= 484, 484÷2= 242, 242÷2= 121,

121×3+1= 364, 364÷2= 182, 182÷2= 91
91×3+1= 274, 274÷2= 137
137×3+1= 412, 412÷2= 206, 206÷2= 103
103×3+1= 310, 310÷2= 155
155×3+1= 466, 466÷2= 233
233×3+1= 700, 700÷2= 350, 350÷2= 175
175×3+1= 526, 526÷2= 263,

263×3+1= 790, 790÷2= 395
395×3+1= 1186, 1186÷2= 593,

593×3+1= 1780, 1780÷2= 890, 890÷2= 445
445×3+1= 1336, 1336÷2= 668, 668÷2= 334, 334÷2= 167
167×3+1= 502, 502÷2= 251
251×3+1= 754, 754÷2= 377
377×3+1= 1132, 1132÷2= 566, 566÷2= 283
283×3+1= 850, 850÷2= 425,

425×3+1= 1276, 1276÷2= 638, 638÷2= 319
319×3+1= 958, 958÷2= 479
479×3+1= 1438, 1438÷2= 719
719×3+1= 2158, 2158÷2= 1079
1079×3+1= 3238, 3238÷2= 1619
1619×3+1= 4858, 4858÷2= 2429
2429×3+1= 7288, 7288÷2= 3644, 3644÷2= 1822, 1822÷2= 911
911×3+1= 2734, 2734÷2= 1367
1367×3+1= 4102, 4102÷2= 2051,

2051×3+1= 6154, 6154÷2= 3077,

3077×3+1= 9232, 9232÷2= 4616, 4616÷2= 2308, 2308÷2= 1154, 1154÷2= 577
577×3+1= 1732, 1732÷2= 866, 866÷2= 433
433×3+1= 1300, 1300÷2= 650, 650÷2= 325
325×3+1= 976, 976÷2= 488, 488÷2= 244, 244÷2= 122, 122÷2= 61,

61×3+1= 184, 184÷2= 92, 92÷2= 46, 46÷2= 23
23×3+1= 70, 70÷2= 35
35×3+1= 106, 106÷2= 53
53×3+1= 160, 160÷2= 80, 80÷2= 40, 40÷2= 20, 20÷2= 10, 10÷2= 5
5×3+1= 16, 16÷2= 8, 8÷2= 4, 4÷2= 2, 2÷2= 1

Note que a seguir a um número x ímpar o número 3x+1 é sempre par!

Quando se testa sistematicamente em computador esta sequência, basta escrever o número na forma

km+r

e parar quando se obtiver um número inferior ao inicial, desde que antes se tenham testados todos os números para k menor ou igual ao que está a ser testado, o que poupa tempo de cálculo.

Exemplos:

m=4

4k\rightarrow \left( 4k\right) /2=\allowbreak 2k<4k

\qquad

4k+1\rightarrow 3\left( 4k+1\right) +1=\allowbreak 12k+4\rightarrow \left( 12k+4\right) /2=\allowbreak 6k+2

\rightarrow \left( 6k+2\right) /2=\allowbreak 3k+1<4k+1

\qquad

4k+2\rightarrow \left( 4k+2\right) /2=\allowbreak 2k+1<4k+2

\qquad

4k+3\rightarrow 3\left( 4k+3\right) +1=\allowbreak 12k+10\rightarrow \left( 12k+10\right) /2=\allowbreak 6k+5

\rightarrow 3\left( 6k+5\right) +1=\allowbreak 18k+16\rightarrow \left( 18k+16\right) /2=\allowbreak 9k+8

\bigskip

\begin{array}{cc} 4k & 2k \\ 4k+1 & 3k+1 \\ 4k+2 & 2k+1 \\ 4k+3 & \end{array}

\bigskip

Só se testam \dfrac{1}{4} dos casos, os da forma 4k+3

\begin{array}{cc}4k+3 &(usa-se\qquad 9k+8)\end{array}

\bigskip

m=8

\begin{array}{cc}8k&4k\\8k+1&6k+1\\8k+2&4k+1\\8k+3&\\8k+4 & 4k+2\\8k+5&6k+4\\ 8k+6&4k+3\\8k+7&\end{array}

\bigskip

Só se testam \dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4} dos casos, os da forma 8k+3 e 8k+7

\begin{array}{cc}8k+3&(usa-se\qquad 9k+4)\\8k+7&(usa-se\qquad 27k+26)\end{array}

\bigskip

m=16

\begin{array}{cc}16k&8k\\16k+1&12k+1\\16k+2&8k+1\\16k+3&9k+2\\16k+4&8k+2\\16k+5&12k+4\\16k+6&8k+3\\16k+7&\\16k+8&8k+4\\16k+9&12k+7\\16k+10&8k+5\\16k+11&\\ 16k+12&8k+6\\ 16k+13&12k+10\\ 16k+14&8k+7\\16k+15&\end{array}

\bigskip

Só se testam \dfrac{3}{16}<\dfrac{1}{4} dos casos, os da forma 16k+7, 16k+11 e 16k+15.

\begin{array}{cc}16k+7&(usa-se\qquad 27k+13)\\16k+11&(usa-se\qquad 27k+20)\\16k+15&(usa-se\qquad 81k+80).\end{array}

Links úteis:

 

Primeiras somas parciais de

 \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\cos x-\dfrac{2}{3\pi}\cos3x+\dfrac{2}{5\pi}\cos5x-\dfrac{2}{7\pi}\cos7x+\cdots

Onda quadrada (a vermelho) no intervalo \lbrack -\pi ,\pi \rbrack

f(x)= \left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.

e as somas parciais dos cinco primeiros termos da série de Fourier

 

f(x)= \dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)

Em virtude de f\left( x\right) ser par b_{n}=0

f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx

Os coeficientes a_{n} são

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{+\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\cdots

a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\;dx=1

a_{1}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos x\;dx=\dfrac{2}{\pi }

a_{3}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 3x\;dx=-\dfrac{2}{3\pi }

a_{5}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 5x\;dx=-\dfrac{2}{5\pi }

a_{7}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 7x\;dx=-\dfrac{2}{7\pi }

a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots =a_{2n}=0

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

 

A relação de Parseval  toma a forma

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2 = ||f||^2,

quando a função f ,  admite um desenvolvimento em série de Fourier relativamente às funções ortogonais \phi_i (i\ge0) do tipo

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n \phi_n (x),

em que os coeficientes c_n são os integrais

c_n=\displaystyle\frac{(f,\phi_n)}{||\phi_n||^2}= \displaystyle\frac{\displaystyle\int_If(x)\phi_n(x)\;dx}{\displaystyle\int_I\phi_n(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx}.

verifica-se, se e só se,

\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }||f-\sum_{k=0}^{n}c_{k}\phi_{k}(x)||=0.

Notas:

 

 

  • A norma ||f|| designa o integral ||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx}.

  • A fórmula ou relação de Parseval  = ||f||^2=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2 generaliza a notação vectorial x=(x_1,x_2,...,x_N) pois sabe-se que ||x||^2 =\displaystyle\sum_{n=1}^{N}|x_n|^2.

  • O produto interno de duas funções reais f e g é

 (f,g)=\displaystyle\int_I f(x)g(x)\;dx

          e

(f,f)=f^2=\displaystyle\int_If(x)f(x)\;dx=\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx,

||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx}.

Se as funções f,g,\phi_n forem complexas, as definições alteram-se para:

  • (f,g)=\displaystyle\int_I f(x)\overline{g(x)}\;dx

  • c_n=(f,\phi_n)=\displaystyle\int_I f(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx

     

     

  • ||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I f(x)\overline{f(x)}\;dx}

     

     

A demonstração pode ser vista, por exemplo, em [Apostol, Mathematical Analysis, 2nd ed., Addison-Wesley Publishing Company, 1974, p. 309]. 

 

 

 RESOLUÇÃO EM PORTUGUÊS

No site do departamento do Harvard’s Math Department apareceu em 1-3-2008 o seguinte enunciado (Putnam problem of the day):

« Evaluate

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}

Express your answer in the form

\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d},

where a,b,c,d are integers. »

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Resolução

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Começo por calcular o radicando, notando que a fracção contínua

x=\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}

verifica

x=\dfrac{1}{2207-x}

pelo que, como \dfrac{1}{2}\left( 2207+\sqrt{2207^2-4}\right) \approx 2207, só poderá ser

x=\dfrac{2207-\sqrt{2207^2-4}}{2}

e, após alguns cálculos

2207-x=\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2};

por este motivo

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}}=\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}.

Para que

\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}

ou, de forma equivalente,

\dfrac{d^8}{2}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =\left( a+b\sqrt{c}\right) ^8,

com a,b,c inteiros, é necessário que d^8/2 seja inteiro, pelo que d deve ser par. Vou admitir que d=2; por outro lado c deverá ser igual a 5. Então,

2^7\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =126\,336\sqrt{5}+282\,496=\left( a+b\sqrt{5}\right) ^8

\bigskip

\displaystyle a+b\sqrt{5}=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }

\bigskip

\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-b\sqrt{5}

\bigskip

Como, para b=2

\bigskip

\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-2\sqrt{5}<1

excluo esta possibilidade. Resta b=1

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\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-\sqrt{5}\approx 5,\,236\,1-2,\,236\,1=3,\,000

\bigskip

Vou confirmar

\displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.

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A solução pedida a que cheguei foi

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\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.

\bigskip

Nota: O cálculo de \displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.

pode ser feito à mão da seguinte forma

\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}=6\sqrt{5}+14

\bigskip

\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{4}=\left( 6\sqrt{5}+14\right) ^{2}=168\sqrt{5}+376

\bigskip

\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=\left( 168\sqrt{5}+376\right)^{2}=126\,336\sqrt{5}+282\,496

Versão pdf : hmdputnam1mar08v4.pdf

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RESOLUÇÃO EM INGLÊS

On March 1st, 2008, the Putnam problem of the day displayed on the  Harvard’s Math Department site was stated as follows:

“ Evaluate

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}

Express your answer in the form

\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d},

where a,b,c,d are integers.  

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Solution

To evaluate the radicand I start by seeing that the continued fraction

x=\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}

satisfies

x=\dfrac{1}{2207-x}.

Thus,  since  \dfrac{1}{2}\left( 2207+\sqrt{2207^2-4}\right) \approx 2207, the only solution left is

x=\dfrac{2207-\sqrt{2207^2-4}}{2}.

A few algebraic manipulations give

2207-x=\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2};

hence

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}}=\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}.

In order to have

\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}

or equivalently,

\dfrac{d^8}{2}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =\left( a+b\sqrt{c}\right) ^8,

with a,b,c integers, d^8/2 should also be an integer; therefore d should be even. I assume that d=2; On the other hand  c should be 5. Thus,

2^7\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =126\,336\sqrt{5}+282\,496=\left( a+b\sqrt{5}\right) ^8

\bigskip

\displaystyle a+b\sqrt{5}=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }

\bigskip

\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-b\sqrt{5}.

\bigskip

Since, for b=2

\bigskip

\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-2\sqrt{5}<1,

this possibility is excluded. It remains  b=1

\bigskip

\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-\sqrt{5}\approx 5,\,236\,1-2,\,236\,1=3,\,000

\bigskip

Now I confirm

\displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.

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So, the solution I came was

\bigskip

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.

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Remark: The calculation of \displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496

can be done by hand as follows

\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}=6\sqrt{5}+14

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\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{4}=\left( 6\sqrt{5}+14\right) ^{2}=168\sqrt{5}+376

\bigskip

\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=\left( 168\sqrt{5}+376\right)^{2}=126\,336\sqrt{5}+282\,496

Pdf version : hmdputnam1mar08english.pdf

 

pdf: eulersolidosplatonicosv2.pdf

A equação que relaciona o número de faces F, vértices V e arestas A de um poliedro

F+V=A+2\;\qquad,   

(1)

aplicada ao cubo (F=6 faces, V=8 vértices, A=12 arestas), traduz-se na igualdade

6+8=12+2

e, aplicada ao tetraedro, que é uma pirâmide equilátera (F=4 faces, V=4 vértices, A=6 arestas),  em

4+4=6+2.

Num poliedro regular convexo (um segmento de recta que una quaisquer dois dos seus pontos não sai para fora do poliedro), em que cada face tem  n lados iguais,  se multiplicar o número de faces F por estes n lados, conto  as arestas duas vezes. Porquê? Porque cada aresta é a intersecção de duas faces adjacentes. No caso do cubo, em que as faces são quadrados (n=4) isto traduz-se em:

6\times 4=2\times 12.

Para o tetraedro, cujas faces são triângulos equiláteros (n=3 lados),  pelo mesmo motivo, se multiplicar o número de faces por estes 3  lados , obtenho

4\times 3=2\times 6.

No caso geral de um poliedro regular convexo, em que cada face tem n lados iguais, devido à dupla contagem será então:

nF=2A\Leftrightarrow F=\dfrac{2A}{n}.

Voltando ao cubo, em que cada vértice é o ponto de encontro de m=3 arestas, se multiplicar agora o número de vértices por estas 3 arestas, obtenho o dobro do número de arestas, porque também estou a contar cada aresta duas vezes, em virtude de cada aresta unir dois vértives:

8\times 3=2\times 12.

Fazendo o mesmo para o tetraedro, m=3, obtenho, pelo mesmo motivo

4\times 3=2\times 6.

O caso geral, em que  cada vértice de um poliedro regular convexo é o ponto de encontro de m arestas, traduz-se em

mV=2A\Leftrightarrow V=\dfrac{2A}{m}.

Assim,  um poliedro regular convexo verifica a dupla igualdade

nF=mV=2A\;\qquad ,  

(2)

em que n é o número inteiro de lados de cada face poligonal e m o número inteiro de arestas que se intersectam em cada vértice, pelo que a  equação (1) é equivalente a

\dfrac{2A}{n}+\dfrac{2A}{m}=A+2

ou  a

\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2}\;\qquad

(3)

Esta equação corresponde, no caso particular do cubo a

\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}

e no do tetraedro a

\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}.

Mas há duas restrições aos possíveis valores inteiros de m e n: uma, em virtude do número de arestas ser positivo, é

\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2n+2m>mn\;\qquad 

(4)

e a outra, porque o poliedro é um sólido tridimensional,

m\ge 3\;\qquad

(5)

O número de lados n de cada face define a sua forma poligonal: para n=3 é o triângulo equilátero, n=4, o quadrado, n=5, o pentágono regular. Será que num poliedro regular convexo n poderá ser igual a 6? Vamos ver que não.

Para m=3 a equação (3) assume o valor particular

\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{6}.

e, pela restrição (4)

2n+6>3n\Leftrightarrow n<6\qquad

conclui-se que 3\le n\le 5.  Os dois casos vistos acima são o tetraedro, que corresponde a n=3 e o cubo, a n=4. Para n=5, vem

\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{30}

donde A=30, V=\dfrac{60}{3}=20F=32-20=12. Este poliedro regular com 12 faces é o  conhecido dodecaedro.

Para m=4, a mesma equação (3) passa a ser

\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{4}

e agora a restrição (4),

2n+8>4n\Leftrightarrow n<4\;\qquad,

isto é, n=3. O número de arestas, vértices e faces são, respectivamente,  A=12, V=\dfrac{24}{4}=6F=14-6=8. É o octaedro, com oito faces que são triângulos equiláteros.

Para m=5, (3) é a equação

\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{3}{10}

e a condição (4)

2n+10>5n\Leftrightarrow n<\dfrac{10}{3}<4\;\qquad

logo, é também n=3. O número de arestas, vértices e faces são, respectivamente,  A=30, V=\dfrac{60}{5}=12F=32-12=20. É o icosaedro, com vinte faces que são triângulos equiláteros.

Para m\ge 6, a primeira forma de (4)

\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{2}\;\qquad

permite estabelecer

\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{m}\ge \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow n<3,\qquad

o que contraria a restrição (5). Isto  prova  que 3\le n\le 5 e que  só há os  cinco sólidos platónicos atrás referidos. \qquad \blacktriangleleft

  •  INTRODUÇÃO ÀS FRACÇÕES CONTÍNUAS GENERALIZADAS
  • Neste documento  em versão pdf os meus leitores podem ver uma introdução às fracções contínuas generalizadas, bem como o exemplo do desenvolvimento em fracção contínua de \zeta(3). Esta introdução cobre essencialmente a dedução das relações  de recorrência verificadas pelas fracções contínuas

b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{n=1}^{\infty }\left( \frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =b_{0}+\frac{a_{1}}{b_{1}+}\frac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \frac{a_{n}}{b_{n}+}\cdots

exemplificado pelo desenvolvimento em fracção contínua da série \zeta(3).

\zeta \left( 3\right) =\displaystyle\mathcal{K}_{n=1}^{\infty }\left( \frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =\displaystyle\frac{6}{5-}\frac{1}{117-}\frac{64}{535-}\cdots \frac{n^{6}}{34n^{3}+51n^{2}+27n+5-}\cdots

Notação: A enésima fracção reduzida, obtida cortando a fracção contínua

 

b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{cccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}} & \\ & & & \ddots\end{array}}},

 pelos elementos a_n,b_n, é uma expressão do tipo

\displaystyle\frac{p_n}{q_n}=b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{ccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}}\end{array}}} =b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{j=1}^{n }\left( \frac{a_{j}}{b_{j}}\right) =b_{0}+\frac{a_{1}}{b_{1}+}\frac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \frac{a_{n}}{b_{n}}.

Os numeradores e denominadores das fracções reduzidas de ordem n,n-1,n-2 verificam:

p_{n}=p_{n-1}b_{n}+p_{n-2}a_{n},

q_{n}=q_{n-1}b_{n}+q_{n-2}a_{n}.

  • TRANSFORMAÇÃO EM FRACÇÃO CONTÍNUA DA SOMAS PARCIAIS DA SÉRIE ZETA(N)
  • Neste documento mostro como transformar as somas parciais da série \zeta (n) em fracção contínua:

    \displaystyle\sum_{k=1}^{N}\displaystyle\frac{1}{k^n}=\displaystyle\frac{1}{1+K_{j=1}^{N}\left (\displaystyle\frac{-j^{2n}}{(j+1)^{n}+j^{n}}\right ) }

    pelo que

    \zeta (n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^n}=\displaystyle\frac{1}{1+K_{j=1}^{\infty}\left ( \displaystyle\frac{-j^{2n}}{(j+1)^{n}+j^{n}}\right ) }

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