Por diversos motivos não consegui autonomizar este meu blogue do problemas | teoremas. Sendo assim suspendo-o por tempo indefinido. A retomar a publicação fá-lo-ei apenas se conseguir criar entradas e temas ou forma de apresentação diferenciadas do blogue principal problemas | teoremas. Agradeço que os eventuais comentadores usem de preferência o meu endereço de e-mail… [Ler mais…]
Agosto 18, 2008
A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte Teorema: Para todo o vector e todo o vector , tem-se: ou . Demonstração Qualquer que seja o real , tomo o vector , e vou achar . Seja qual for o , o trinómio do lado direito, em , não muda de sinal, é sempre positivo ou… [Ler mais…]
Agosto 15, 2008
A hipociclóide é a curva descrita por um dado ponto de uma circunferência que rola, sem escorregar, interiormente sobre outra. Se o raio da circunferência exterior for quádruplo do da interior, a curva é conhecida por astróide — não confundir com asteróide — e as suas equações paramétricas são e a cartesiana, . O gráfico,… [Ler mais…]
Junho 7, 2008
Começo por considerar sistemas de funções ortogonais para desenvolver a questão da representação de uma função em série do tipo em que são precisamente funções ortogonais em . Chamam-se funções ortogonais às funções [complexas de variável real] que satisfazem as seguintes condições: Revestem-se de grande interesse nas aplicações as funções do tipo e . Chama-se norma de um sistema de… [Ler mais…]
Junho 4, 2008
O problema 3x + 1, também conhecido por conjectura de Collatz, está por resolver. Consiste no seguinte: Considera-se um número inteiro positivo superior a 1. Se for par divide-se por dois, se for ímpar multiplica-se por três e soma-se-lhe um. Ao novo número assim obtido faz-se o mesmo, e assim sucessivamente, até que se chegue a… [Ler mais…]
Maio 16, 2008
Primeiras somas parciais de Onda quadrada (a vermelho) no intervalo e as somas parciais dos cinco primeiros termos da série de Fourier Em virtude de ser par Os coeficientes são NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.… [Ler mais…]
Abril 7, 2008
A relação de Parseval toma a forma , quando a função , admite um desenvolvimento em série de Fourier relativamente às funções ortogonais do tipo , em que os coeficientes são os integrais . verifica-se, se e só se, . Notas: A norma designa o integral . A fórmula ou relação de Parseval generaliza a notação… [Ler mais…]
Março 9, 2008
RESOLUÇÃO EM PORTUGUÊS No site do departamento do Harvard’s Math Department apareceu em 1-3-2008 o seguinte enunciado (Putnam problem of the day): « Evaluate Express your answer in the form , where are integers. » Resolução Começo por calcular o radicando, notando que a fracção contínua verifica pelo que, como só poderá ser e, após… [Ler mais…]
Março 8, 2008
pdf: eulersolidosplatonicosv2.pdf A equação que relaciona o número de faces , vértices e arestas de um poliedro , (1) aplicada ao cubo ( faces, vértices, arestas), traduz-se na igualdade e, aplicada ao tetraedro, que é uma pirâmide equilátera ( faces, vértices, arestas), em . Num poliedro regular convexo (um segmento de recta que una quaisquer dois dos seus… [Ler mais…]
Fevereiro 11, 2008
INTRODUÇÃO ÀS FRACÇÕES CONTÍNUAS GENERALIZADAS pdf: fracontgeneralizadas.pdf Neste documento em versão pdf os meus leitores podem ver uma introdução às fracções contínuas generalizadas, bem como o exemplo do desenvolvimento em fracção contínua de . Esta introdução cobre essencialmente a dedução das relações de recorrência verificadas pelas fracções contínuas exemplificado pelo desenvolvimento em fracção contínua da… [Ler mais…]
Outubro 1, 2008
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