Funções ortogonais e séries de Fourier

Junho 7, 2008 by Américo Tavares

Começo por considerar sistemas de funções ortogonais para desenvolver a questão da representação de uma função em série do tipo

$f(x)=\displaystyle\sum_{n} c_{n}\phi_{n}(x)$

em que $\phi_{n}(x)$ são precisamente funções ortogonais em $\lbrack a ,b\rbrack$ .

Chamam-se funções ortogonais às funções [complexas de variável real] que satisfazem as seguintes condições:

$\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx=0\qquad \text{para }n\neq m$

$\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx>0\qquad \text{para }n=m$

Revestem-se de grande interesse nas aplicações as funções do tipo $\cos nx$ e $\sin nx$ .

Chama-se norma de um sistema de funções ortogonais a

$\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\sqrt{\left( \phi_{n}\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{n}\left( x\right) \;dx}$ .

Um sistema ortogonal diz-se ortonormado se a sua norma for igual à unidade: $\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =1$ .

Exemplo 1: $\phi_{n}\left( x\right) =e^{inx}$ definida em $\lbrack -\pi ,\pi\rbrack$ .

$\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx$

$=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{inx}\, e^{-imx}\;dx=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left( n-m\right)x} \;dx =\dfrac{1}{i\left( n-m\right)}\times$ $\left[ e^{i\left( n-m\right) x}\right] _{-\pi }^{\pi }$

$=0\qquad \text{para }n\neq m$

$=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\;dx=2\pi\qquad \text{para }n=m$

$\left\vert \left\vert e^{inx}\right\vert \right\vert =\sqrt{2\pi}$ . $\blacktriangleleft$

Consideremos uma função de variável real $f(x)$

$f(x)=\displaystyle\sum_{n}c_{n}\phi_{n}(x)\qquad a\le x\le b$

e as seguintes hipóteses:

a série converge;
converge para $f(x)$

Multiplicando a série por $\overline{\phi }_{m}(x)$ vem

$f(x)\overline{\phi }_{m}(x)=\displaystyle\sum_{m} c_{m}\phi_{n}(x)\overline{\phi }_{m}(x)$

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi }_{m}(x)\; dx=\displaystyle\sum_{m} c_{n}\int_{a}^{b}\phi_{m}(x)\overline{\phi }_{n}(x)\; dx$

porque pode trocar-se a ordem de $\displaystyle\int$ e $\displaystyle\sum$ , se admitirmos a convergência uniforme da série no intervalo $\lbrack a ,b\rbrack$ . Assim,

$\displaystyle\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)=c_{n}\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}$ ,

ou seja,

$c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}$

Aos coeficientes $c_n$ chamam-se os coeficientes de Fourier. À série chama-se série de Fourier relativa ao conjunto de funções ortogonais $\phi_n(x)$ .

NOTA: esta dedução não é rigorosa!

Consideremos uma função $f(x)$ de quadrado integrável no intervalo $\left[ a,b \right]$ . Vamos aproximar $f(x)$ por uma expressão da forma

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_n\phi_n(x)$

Seja $\epsilon$ o erro quadrático médio. Vamos impor que $\epsilon^2$ seja mínimo.

$\epsilon^2=$ $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_n\phi_n(x)\right\vert^2\; dx$

o que é o mesmo que

$(b-a)\epsilon^2=$ $\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}$

$+\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $\left\vert c_n\times||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\times (f\cdot\overline{\phi}_n)\right\vert ^2$ .

DEDUÇÃO:

Dados dois complexos $z$ e $w$ , verifica-se

$|z-w|^2=(z-w)\overline{(z-w)}=|z|^2+|w|^2-z\overline{w}-\overline{z}w$ .

Assim, tem-se

$\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}=$ $\left\vert f(x)\right\vert^{2}$ $+\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\vert^{2}$ $-f(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\overline{c}_{n}\overline{\phi}_{n}(x)$ $-\overline{f}(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)$ ,

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)=\left (\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right )\overline{\left (\displaystyle\sum_{m=1}^{N}c_{m}\phi_{m}\right )}=\displaystyle\sum_{n,m=1}^{N}c_{n}\overline{c}_{m}\phi_{n}(x)\overline{\phi}_{n}(x)$

$\left\vert c_n||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi}_n(x)\; dx\right\vert ^2$ $=|c_n|^2||\phi_n||^2$ $+\left\vert\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int f(x)\overline{\phi}_{n}(x)\; dx\right\vert ^2$ $-c_{n}||\phi_n||\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f(x)}\phi_{n}(x)\; dx$ $-\overline{c}_{n}||\phi_n||\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi}_{n}\; dx$

donde resulta

$\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}\; dx=$ $\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert^{2}\; dx$ $+\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\vert^{2}\; dx$ $-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\overline{c}_{n}\overline{\phi}_{n}(x)\; dx$ $-\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f}(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\; dx$

$=\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert ^2\; dx$ $-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n)|^2}{||\phi_n||^2}$ $+\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left\vert c_{n}||\phi_n||-\dfrac{(f\cdot\overline{\phi}_n}{||\phi_n||}\right\vert ^2$ ,

ou seja, a fórmula acima que se repete:

$(b-a)\epsilon^2=$ $\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}$

$+\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $\left\vert c_n\times||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\times (f\cdot\overline{\phi}_n)\right\vert ^2$ .

Os termos

$\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}$

são independentes de $c_n$ . Para minimizar $\epsilon$ deve ter-se

$c_{n}\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert}$

que é equivalente a

$c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}$

ou a

$|c_n|^2||\phi_n||^2=\left\vert\dfrac{(f\cdot\overline{\phi}_n)}{||\phi||^2}\right\vert ^{2}||\phi_n||^2$ $=\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n)|^2}{||\phi_n||^2}$

Vimos então que os coeficientes da série de Fourier $c_n$ minimizam o erro quadrado médio.

$(b-a)\epsilon_{\text{min}}^2=$ $\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $|c_n|^2||\phi_n||^2\ge 0$

Fazendo tender $N$ para infinito, no limite tem-se a desigualdade de Bessel

$\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $\ge\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}$ $|c_n|^2||\phi_n||^2$ .

Se o sistema for ortonormado, $||\phi_n||=1$ , e

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $|c_n|^2\le\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2\; dx$ $=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)f\overline{f}(x)\; dx=||f||^2$

Para as funções de quadrado integrável, a série

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $|c_n|^2||\phi_n||^2$

converge. A seguinte igualdade verifica-se, se e só se, o erro quadrático médio for nulo; então, será

$\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}$ $|c_n|^2||\phi_n||^2$

e o sistema de funções $\phi_{n}(x)$ é completo. Então

$\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}\; dx=0$ .

Nestas condiçoes, diz-se que a série de Fourier converge em média para $f(x)$ , mas a convergência não é necessariamente uniforme. Por definição uma série converge uniformemente para uma função quando simbolicamente se verificar

$\underset{\varepsilon >0}{\forall }\;$ $\underset{N_{1}}{\exists }\;$ $\underset{x\in \lbrack a,b]}{\forall }\;$ $N>N_{1}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon$

Para cada $\varepsilon >0$ , existe um inteiro $N_{1}$ tal que, $N>N_{1}$ implica $\left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon$ , para todo o $x$ no intervalo $\lbrack a ,b\rbrack$ . O facto essencial é que $N_{1}$ é independente de $x.$ Normalmente dependeria de $\varepsilon .$

Os sistemas completos, em que $\sum c_{n}\phi_{n}(x)$ converge em média para $f(x)$ , esta convergência não implica convergência em todos os pontos.

Se considerarmos duas funções, $f_{1}(x)$ e $f_{2}(x)$ , que diferem apenas num número finito de pontos e calcularmos os coeficientes

$c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}$

obtemos o mesmo valor, visto que

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi_{n}(x)}\; dx=(f\cdot\overline{\phi_{n}(x)})$

tem o mesmo valor para as duas funçoes, o que leva a que ambas sejam representadas pela mesma série de Fourier. A série de Fourier pode não convergir para o valor da função num conjunto finito de pontos.

Para os sistemas completos é possível deduzir a seguinte relação:

Dadas duas funções $f(x)$ e $g(x)$ representadas pelas séries

$f(x)=\displaystyle\sum c_{n}\phi_{n}(x)$

$g(x)=\displaystyle\sum d_{n}\phi_{n}(x)$

é possível demonstrar que

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{g}_{n}(x)\; dx=\displaystyle\sum c_{n}\overline{d}_{n}||\phi_n||^2$
$\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum |c_{n}|^2||\phi_n||^2$ , fazendo em 1. $g(x)=f(x)$ .

À relação 1. costuma chamar-se relação de Parseval na forma geral. à seguinte, chamar-se-á relação de Parseval na forma particular. Se soubermos de antemão que um determinado sistema de funções é completo, podemos determinar a soma de certas séries de interesse prático, à custa da relação de Parseval: exemplo, a série

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}=\dfrac{\pi^2}{8}$ .

Exemplo 2: O sistema de funções $\sin nx$ $(n=1,2,\dots)$ é ortogonal no intervalo $\lbrack 0,\pi\rbrack$ . Determine os coeficientes de Fourier da série

$f(x)=1=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\sin nx$ $\qquad\qquad (0\le x\le\pi)$

e verifique que aquele sistema é completo em relação a esta função.

$\bigskip$

Começo por calcular as quantidades:

$||\phi_n||^2=||\sin nx||^2=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2}nx\; dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1-\cos 2nx)\; dx$ $=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}(\sin 2nx-\sin 0)=\dfrac{\pi}{2}$

$\bigskip$

$(f\cdot\overline{\phi}_n)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin nx\; dx=-\dfrac{1}{n}(\cos n\pi -\cos 0)=\dfrac{2}{n}$ , para $n$ ímpar e

$(f\cdot\overline{\phi}_n)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin nx\; dx=-\dfrac{1}{n}(\cos n\pi -\cos 0)=0$ , para $n$ par

$\bigskip$

Deste modo

$c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}=0$ , se $n$ é par e

$c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{4}{n\pi}$ , se $n$ é ímpar.

Podemos agora verificar se a igualdade

$\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^2||\phi_n||^2$

é satisfeita: Temos

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\pi$

$\displaystyle\sum_{1,3,\dots}^{\infty}|c_{n}|^2||\phi_n||^2=\dfrac{16}{\pi^2}\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\sum_{1,3,\dots}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{8}{\pi}\dfrac{\pi^2}{8}=\pi=\displaystyle\int_{0}^{\pi}|f(x)|^2\; dx$

o que significa que o sistema $\sin nx$ é completo em relação à função $f(x)=1$ , $x\in\lbrack 0,\pi\rbrack$ . $\blacktriangleleft$

$\bigskip$

NOTA: Utilizei a soma da série $\displaystyle\sum_{1,3,\dots}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{8}$ . Um dos métodos é descrito no livro de Taylor (ver consultas), p. 717:

Desenvolve-se em série trigonométrica de Fourier, que será vista posteriormente, a função $f(x)=\dfrac{\pi^2}{4}$ , $x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack$ , chegando-se a

$\dfrac{\pi^2}{12}=\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{4^2}+\cdots$ ,

$\dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots$ .

Somando-as, obtém-se

$\dfrac{\pi^2}{8}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\cdots$ .

$\bigskip$

Outro método mais à frente é uma consequência do Problema 2.

$\bigskip$

Série Trigonométrica de Fourier

A série trigonométrica de Fourier é o caso particular das séries de Fourier que utiliza o sistema de funções ortogonais $\cos nx$ e $\sin nx$ :

$1,\cos x,\cos 2x,\ldots ,\sin x,\sin 2x,\cdots$

Sendo $\delta _{nm}$ o delta de Kronecker

$\delta _{nm}=\left\{\begin{array}{c}1\qquad n=m\\\text{0}\qquad n\neq m\end{array}\right.$

os integrais envolvidos podem exprimir-se facilmente nos seguintes termos:

$\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\;dx=$ $\left\{\begin{array}{c}\pi\delta _{nm}\qquad n,m\neq 0\\2\pi\qquad n=m=0\end{array}\right.$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi }\sin nx\sin mx\;dx=\pi\delta _{nm}$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi }\sin nx\cos mx\;dx=0\qquad\forall n,m$

Consideremos a seguinte série de Fourier

$f\left( x\right) \sim\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$

Os coeficientes $a_{n}$ e $b_{n}$ são os seguintes integrais

$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\ldots$

$b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx\qquad n=1,2,3,\ldots$

Estas relações são válidas para qualquer outro intervalo de largura $2\pi$ . Admitamos que $f\left( x\right)$ é uma função de quadrado integrável e que $\phi _{n}$ é um sistema ortogonal; vimos que

$c_{n}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }{||\phi _{n}||^{2}}.$

Neste caso as três normas são dadas por

$||1||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }1^{2}\;dx=2\pi$

$||\sin nx||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}nx\;dx=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2nx\right) \;dx=\pi$

$||\cos nx||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}nx\;dx=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2nx\right) \;dx=\pi$

e os coeficientes por

$c_{1}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{1}\right) }{||\phi _{1}||^{2}}=\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \;dx=\dfrac{a_{o}}{2}$

$c_{2n}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{2n}\right) }{||\phi _{2n}||^{2}}$

$=\dfrac{1}{||\cos nx||^{2}}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx=a_{n}$

$c_{2n+1}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{2n+1}\right) }{||\phi_{2n+1}||^{2}}$

$=\dfrac{1}{||\sin nx||^{2}}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx=\frac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx=b_{n}.$

A série

$\displaystyle\sum_{n}|c_{n}|^{2}||\phi _{n}||^{2}$

é da forma

$\displaystyle\sum_{n}\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$

que, sendo convergente, implica que $a_{n}\rightarrow 0$ e $b_{n}\rightarrow 0.$

É possível demonstrar que, para que $a_{n},b_{n}\rightarrow 0$ $\left( n\rightarrow \infty \right)$ é suficiente que $f\left( x\right)$ seja absolutamente integrável.

$\bigskip$

Teorema: se $f\left( x\right)$ satisfizer as seguintes condições

for injectiva;
for limitada em $x\in\lbrack a,b\rbrack$ ;
tiver um número finito de máximos e mínimos;
e tiver um número finito de descontinuidades de primeira espécie (quando existem limites finitos da função à esquerda e à direita do ponto da descontinuidade).

Então a série trigonométrica de Fourier converge para a seguinte quantidade

$\dfrac{1}{2}\left[ f\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \right] =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$ .

As condições anteriores, que se designam por condições de Dirichlet, são condições suficientes de convergência.

Nos intervalos em que a função é contínua, a convergência da série é uniforme. Se $f\left( x\right)$ for contínua em todo o intervalo, a série trigonométrica de Fourier converge uniformemente em todo o intervalo.

Como consequência do teorema anterior, resulta que o conjunto das funções $\sin nx$ , $\cos nx$ é um conjunto completo para as funções que satisfazem as condições de Dirichlet, isto é

$\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{2}\;dx=\dfrac{a_{0}^{2}}{4}2\pi +\displaystyle\pi \sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$

$\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left\vert f\left( x\right) \right\vert^{2}\;dx=\dfrac{a_{0}^{2}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$

que é a relação de Parseval neste caso.

Dada uma função $f\left( x\right)$ definida no intervalo $x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack$ , se $f\left( x\right)$ satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para $\dfrac{1}{2}\lbrack\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \rbrack$ . Mas, o que é que acontece fora do intervalo $\lbrack -\pi,\pi\rbrack$ ? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de $f\left( x\right)$ . Se $f\left( x\right)$ for periódica de período $2\pi$ , a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo $a_{1}\cos x+b_{1}\sin x$ designamo-lo por fundamental, o termo $a_{n}\cos x+b_{n}\sin nx$ , harmónica de ordem $n$ .

$\bigskip$

Problema 1 - Mostre que o sistema de funções $\sin nx$ , em que $n=1,2,3,\ldots$ é ortogonal no intervalo $\lbrack -\pi,\pi\rbrack$ e determine a respectiva norma.

$\bigskip$

Resolução

Num sistema ortogonal

$\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\overline{\phi }_{m}\;dx\left\{\begin{array}{c}=0\qquad n\neq m\\>0\qquad n=m\end{array}\right.$

A sua norma é dada por

$\int_{a}^{b}|\phi _{n}|^{2}\;dx=||\phi _{n}||^{2}>0$

Como fórmulas a aplicar, temos as seguintes trigonométricas

$\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$

$\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm\sin b\cos a$

$\cos 2a=\cos^{2}a-\sin ^{2}a=1-2\sin^{2}a=2\cos ^{2}a-1\qquad (a=b)$

Donde

$\sin a\sin b=\dfrac{\cos \left( a-b\right) -\cos \left( a+b\right) }{2}$

$\sin ^{2}a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}\qquad (a=b)$

Ora, como para $n\neq m$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi }\sin nx\text{ }\sin mx\;dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi }\cos\left( n-m\right) x-\cos\left( n+m\right) x\;dx$

$=\dfrac{1}{2}\left\lbrack\dfrac{1}{n-m}\sin \left( n-m\right) x-\dfrac{1}{n+m}\sin\left( n+m\right) x\right\rbrack_{0}^{\pi }=0$

e para $n=m$

$||\sin nx||^{2}=\int_{0}^{\pi }\sin ^{2}nx\text{ }dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi }1-\cos 2a\text{ }dx=\dfrac{\pi }{2}$

o sistema é efectivamente ortogonal e a sua norma

$||\sin nx||=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}.$

$\bigskip$

Problema 2 - Considere o sistema de funções

$\cos n\pi\dfrac{x}{l}$ ( $n=0,1,2,\ldots$ ).

1. Mostre que o sistema é ortogonal no intervalo $\lbrack 0,l\rbrack.$

2. Deduza a expressão dos coeficientes da série de Fourier associados à função $f\left( x\right)$ definida naquele intervalo.

3. Calcule o valor dos coeficientes de Fourier para $f(x)=\dfrac{x}{t}$

$\bigskip$

Soluções:

$\displaystyle\int_{0}^{l}\cos n\pi\dfrac{x}{l}\cos m\pi\dfrac{x}{l}\text{ }dx=\left\{\begin{array}{c}\dfrac{l}{2}\qquad n=m\neq 0\\l\qquad n=m=0\\\text{0}\qquad\qquad n\neq m\end{array}\right.$

$c_{n}=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int_{0}^{l}f\left( x\right) \cos n\pi\dfrac{x}{l}\text{}dx\\c_{0}=\dfrac{1}{l}\int_{0}^{l}f\left( x\right) \text{ }dx$

$c_{n}=\left\{\begin{array}{c}0\qquad \qquad n\text{ par}\\-\dfrac{4}{n^{2}\pi^{2}}\qquad n\text { \'{\i}mpar}\end{array}\right.$

$c_{0}=\frac{1}{2}$

Nota adicional: nestas condições

$f\left( x\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\left( \cos\dfrac{\pi x}{l}+\dfrac{1}{3^{2}}\cos\dfrac{3\pi x}{l}+\dfrac{1}{5^{2}}\cos\dfrac{5\pi x}{l}+\cdots\right)$

$\dfrac{x}{t}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\left( \cos\dfrac{\pi x}{l}+\dfrac{1}{3^{2}}\cos\dfrac{3\pi x}{l}+\dfrac{1}{5^{2}}\cos\dfrac{5\pi x}{l}+\cdots\right)$

Para $x=0,$ vem

$0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2n+1\right) ^{2}}$

donde

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2n+1\right) ^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{8}.$

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Problema 3x + 1

Junho 4, 2008 by Américo Tavares

O problema 3x + 1, também conhecido por conjectura de Collatz, está por resolver. Consiste no seguinte:

Considera-se um número inteiro positivo superior a 1. Se for par divide-se por dois, se for ímpar multiplica-se por três e soma-se-lhe um. Ao novo número assim obtido faz-se o mesmo, e assim sucessivamente, até que se chegue a 1.

Conjectura-se que qualquer que seja o número inicial, a sequência gerada acaba sempre no número um.

Exemplo: 5, 16, 8, 4, 2, 1

Cálculo:

5×3+1= 16, 16÷2= 8, 8÷2= 4, 4÷2= 2, 2÷2= 1

Outro exemplo (o do gráfico em cima): 27, 82, 41, 124, …, 3077, 9232, 4616, …, 46, 23, 70, …, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Cálculo:
27×3+1= 82, 82÷2= 41
41×3+1= 124, 124÷2= 62, 62÷2= 31
31×3+1= 94, 94÷2= 47
47×3+1= 142, 142÷2= 71
71×3+1= 214, 214÷2= 107
107×3+1= 322, 322÷2= 161
161×3+1= 484, 484÷2= 242, 242÷2= 121,

121×3+1= 364, 364÷2= 182, 182÷2= 91
91×3+1= 274, 274÷2= 137
137×3+1= 412, 412÷2= 206, 206÷2= 103
103×3+1= 310, 310÷2= 155
155×3+1= 466, 466÷2= 233
233×3+1= 700, 700÷2= 350, 350÷2= 175
175×3+1= 526, 526÷2= 263,

263×3+1= 790, 790÷2= 395
395×3+1= 1186, 1186÷2= 593,

593×3+1= 1780, 1780÷2= 890, 890÷2= 445
445×3+1= 1336, 1336÷2= 668, 668÷2= 334, 334÷2= 167
167×3+1= 502, 502÷2= 251
251×3+1= 754, 754÷2= 377
377×3+1= 1132, 1132÷2= 566, 566÷2= 283
283×3+1= 850, 850÷2= 425,

425×3+1= 1276, 1276÷2= 638, 638÷2= 319
319×3+1= 958, 958÷2= 479
479×3+1= 1438, 1438÷2= 719
719×3+1= 2158, 2158÷2= 1079
1079×3+1= 3238, 3238÷2= 1619
1619×3+1= 4858, 4858÷2= 2429
2429×3+1= 7288, 7288÷2= 3644, 3644÷2= 1822, 1822÷2= 911
911×3+1= 2734, 2734÷2= 1367
1367×3+1= 4102, 4102÷2= 2051,

2051×3+1= 6154, 6154÷2= 3077,

3077×3+1= 9232, 9232÷2= 4616, 4616÷2= 2308, 2308÷2= 1154, 1154÷2= 577
577×3+1= 1732, 1732÷2= 866, 866÷2= 433
433×3+1= 1300, 1300÷2= 650, 650÷2= 325
325×3+1= 976, 976÷2= 488, 488÷2= 244, 244÷2= 122, 122÷2= 61,

61×3+1= 184, 184÷2= 92, 92÷2= 46, 46÷2= 23
23×3+1= 70, 70÷2= 35
35×3+1= 106, 106÷2= 53
53×3+1= 160, 160÷2= 80, 80÷2= 40, 40÷2= 20, 20÷2= 10, 10÷2= 5
5×3+1= 16, 16÷2= 8, 8÷2= 4, 4÷2= 2, 2÷2= 1

Note que a seguir a um número $x$ ímpar o número $3x+1$ é sempre par!

Quando se testa sistematicamente em computador esta sequência, basta escrever o número na forma

$km+r$

e parar quando se obtiver um número inferior ao inicial, desde que antes se tenham testados todos os números para $k$ menor ou igual ao que está a ser testado, o que poupa tempo de cálculo.

Exemplos:

$m=4$

$4k\rightarrow \left( 4k\right) /2=\allowbreak 2k<4k$

$\qquad$ —

$4k+1\rightarrow 3\left( 4k+1\right) +1=\allowbreak 12k+4\rightarrow \left( 12k+4\right) /2=\allowbreak 6k+2$

$\rightarrow \left( 6k+2\right) /2=\allowbreak 3k+1<4k+1$

$\qquad$ —

$4k+2\rightarrow \left( 4k+2\right) /2=\allowbreak 2k+1<4k+2$

$\qquad$ —

$4k+3\rightarrow 3\left( 4k+3\right) +1=\allowbreak 12k+10\rightarrow \left( 12k+10\right) /2=\allowbreak 6k+5$

$\rightarrow 3\left( 6k+5\right) +1=\allowbreak 18k+16\rightarrow \left( 18k+16\right) /2=\allowbreak 9k+8$

$\bigskip$

$\begin{array}{cc} 4k & 2k \\ 4k+1 & 3k+1 \\ 4k+2 & 2k+1 \\ 4k+3 & \end{array}$

$\bigskip$

Só se testam $\dfrac{1}{4}$ dos casos, os da forma $4k+3$

$\begin{array}{cc}4k+3 &(usa-se\qquad 9k+8)\end{array}$

$\bigskip$

$m=8$

$\begin{array}{cc}8k&4k\\8k+1&6k+1\\8k+2&4k+1\\8k+3&\\8k+4 & 4k+2\\8k+5&6k+4\\ 8k+6&4k+3\\8k+7&\end{array}$

$\bigskip$

Só se testam $\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$ dos casos, os da forma $8k+3$ e $8k+7$

$\begin{array}{cc}8k+3&(usa-se\qquad 9k+4)\\8k+7&(usa-se\qquad 27k+26)\end{array}$

$\bigskip$

$m=16$

$\begin{array}{cc}16k&8k\\16k+1&12k+1\\16k+2&8k+1\\16k+3&9k+2\\16k+4&8k+2\\16k+5&12k+4\\16k+6&8k+3\\16k+7&\\16k+8&8k+4\\16k+9&12k+7\\16k+10&8k+5\\16k+11&\\ 16k+12&8k+6\\ 16k+13&12k+10\\ 16k+14&8k+7\\16k+15&\end{array}$

$\bigskip$

Só se testam $\dfrac{3}{16}<\dfrac{1}{4}$ dos casos, os da forma $16k+7$ , $16k+11$ e $16k+15$ .

$\begin{array}{cc}16k+7&(usa-se\qquad 27k+13)\\16k+11&(usa-se\qquad 27k+20)\\16k+15&(usa-se\qquad 81k+80).\end{array}$

Links úteis:

Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
On the 3x + 1 problem, Eric Roosendaal: http://www.ericr.nl/wondrous/
Experiments with the 3n+1 sequence (Gerador/calculadora online), Alfred Wassermann: http://did.mat.uni-bayreuth.de/personen/wassermann/fun/3np1_e.html
Computational verification of the 3x+1 conjecture, Tomás Oliveira e Silva: http://www.ieeta.pt/~tos/3x+1.html
The 3x + 1 Problem and its Generalizations, Jeffrey C. Lagarias (January 16, 1996): http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/paper/html/paper.html
Algorithme de Collatz et conjecture de Syracuse: http://trucsmaths.free.fr/js_syracuse.htm

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Desenvolvimento em Série de Fourier da Onda Quadrada

Maio 16, 2008 by Américo Tavares

Primeiras somas parciais de

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\cos x-\dfrac{2}{3\pi}\cos3x+\dfrac{2}{5\pi}\cos5x-\dfrac{2}{7\pi}\cos7x+\cdots$

Onda quadrada (a vermelho) no intervalo $\lbrack -\pi ,\pi \rbrack$

$f(x)=$ $\left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.$

e as somas parciais dos cinco primeiros termos da série de Fourier

$f(x)=$ $\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$

Em virtude de $f\left( x\right)$ ser par $b_{n}=0$

$f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx$

Os coeficientes $a_{n}$ são

$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{+\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\cdots$

$a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\;dx=1$

$a_{1}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos x\;dx=\dfrac{2}{\pi }$

$a_{3}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 3x\;dx=-\dfrac{2}{3\pi }$

$a_{5}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 5x\;dx=-\dfrac{2}{5\pi }$

$a_{7}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 7x\;dx=-\dfrac{2}{7\pi }$

$a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots =a_{2n}=0$

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

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Relação de Parseval

Abril 7, 2008 by Américo Tavares

A relação de Parseval toma a forma

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2 = ||f||^2$ ,

quando a função $f$ , admite um desenvolvimento em série de Fourier relativamente às funções ortogonais $\phi_i$ $(i\ge0)$ do tipo

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n \phi_n (x)$ ,

em que os coeficientes $c_n$ são os integrais

$c_n=\displaystyle\frac{(f,\phi_n)}{||\phi_n||^2}=$ $\displaystyle\frac{\displaystyle\int_If(x)\phi_n(x)\;dx}{\displaystyle\int_I\phi_n(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx}$ .

verifica-se, se e só se,

$\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }||f-\sum_{k=0}^{n}c_{k}\phi_{k}(x)||=0$ .

Notas:

A norma $||f||$ designa o integral $||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx}$ .
A fórmula ou relação de Parseval $= ||f||^2=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2$ generaliza a notação vectorial $x=(x_1,x_2,...,x_N)$ pois sabe-se que $||x||^2 =\displaystyle\sum_{n=1}^{N}|x_n|^2$ .
O produto interno de duas funções reais $f$ e $g$ é

$(f,g)=\displaystyle\int_I f(x)g(x)\;dx$

$(f,f)=f^2=\displaystyle\int_If(x)f(x)\;dx=\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx$ ,